வட்டம், நீள்வட்டம் இரண்டின் பரப்பளவை அடிப்படை நுண்கணிதத்தின் வழியே கண்டுபிடிப்பது மிக எளிது.
$x^2 + y^2 = r^2$
இதையே, $\theta$ என்ற கோணத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டு எழுதவதென்றால்,
$x = r \cos\theta; y = r \sin\theta$
முதல் வட்டக் கால்பகுதியை எடுத்துக்கொண்டால், அதன் பரப்பளவை இவ்வாறு எழுதலாம்:
\begin{equation}
A = \int_{0}^{r} y dx = \int_{\pi/2}^{0} (r \sin\theta)(-r \sin\theta) d\theta = -r^2 \int_{\pi/2}^{0} \sin^2\theta d\theta
\end{equation}
A = \int_{0}^{r} y dx = \int_{\pi/2}^{0} (r \sin\theta)(-r \sin\theta) d\theta = -r^2 \int_{\pi/2}^{0} \sin^2\theta d\theta
\end{equation}
முக்கோணவியலிலிருந்து கீழ்க்கண்ட சமன்பாடு நமக்குக் கிடைக்கிறது:
$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 1 - 2 \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1$
இதிலிருந்து,
$\sin^2\theta = \frac{1}{2}(1- \cos 2\theta)$
இதனைக் கொண்டு பரப்பளவைக் கணக்கிடலாம்:
\begin{equation}
A = -r^2 \int_{\pi/2}^{0} \sin^2\theta d\theta = \frac{-r^2}{2} \int_{\pi/2}^{0} (1 - \cos 2\theta) d \theta = \frac{\pi r^2}{4}
\end{equation}
A = -r^2 \int_{\pi/2}^{0} \sin^2\theta d\theta = \frac{-r^2}{2} \int_{\pi/2}^{0} (1 - \cos 2\theta) d \theta = \frac{\pi r^2}{4}
\end{equation}
மேலே கண்டுபிடிக்கப்பட்டது மொத்தப் பரப்பளவில் நான்கில் ஒரு பகுதி என்பதால் முழுப் பரப்பளவு $= \pi r^2$ என்றாகும்.
நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு இதுதான்:
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
இங்கே $a$ என்பது அரை பேரச்சு; $b$ என்பது அரை சிற்றச்சு. இதே சமன்பாட்டை கோணத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டு, $x = a \cos\theta; y = b \sin\theta$ என்று எழுதலாம். வட்டத்துக்குச் செய்ததுபோல, முதல் வட்டக் கால்பகுதியை எடுத்துக்கொண்டால்,
\begin{equation}
A = \int_{0}^{r} y dx = -ab \int_{\pi/2}^{0} \sin^2\theta d\theta = \frac{\pi ab}{4}
\end{equation}
A = \int_{0}^{r} y dx = -ab \int_{\pi/2}^{0} \sin^2\theta d\theta = \frac{\pi ab}{4}
\end{equation}
நீள்வட்டத்தின் மொத்தப் பரப்பு $\pi ab$.
நுண்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி, வட்டத்தின் சுற்றளவையும் கண்டுபிடிக்கலாம். முன்போலவே முதல் வட்டக் கால்பகுதியை எடுத்துக்கொள்வோம். இங்கே வளைகோட்டின் வழியாகச் செல்லும் ஒரு சிறு துண்டு $dl = \sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$
$dx = -r \sin\theta d\theta; dy = r \cos\theta d\theta$
$dl = r \sqrt{\sin^2\theta + \cos^2\theta} d\theta = r d\theta$
\begin{equation}
L = \int_{0}^{\pi/2} r d\theta = \frac{\pi r}{2}
\end{equation}
L = \int_{0}^{\pi/2} r d\theta = \frac{\pi r}{2}
\end{equation}
வட்டத்தின் நான்கு கால்பகுதிகளையும் சேர்த்தால், முழுச் சுற்றளவு $2 \pi r$. சரி, நீள்வட்டத்தின் சுற்றளவு என்ன? ஒரு கால்பகுதியை மட்டும் எடுத்துக்கொண்டால் கிடைப்பது:
\begin{equation}
L = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{a^2 \sin^2\theta + b^2 \cos^2\theta} \quad d\theta
\end{equation}
L = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{a^2 \sin^2\theta + b^2 \cos^2\theta} \quad d\theta
\end{equation}
இதற்கு மூடிய வடிவத்தில் ஒரு தீர்வு (closed form solution) கிடையாது!
சூரியனைச் சுற்றிச் செல்லும் கோள்களை ஆராய்ந்த யோஹானஸ் கெப்ளருக்கு (Kepler) நீள்வட்டத்தின் சுற்றளவைக் கண்டுபிடிக்கவேண்டிய தேவை இருந்தது. 1609-ம் ஆண்டு, கெப்ளர் இதற்கான ஒரு தோராயமான தீர்வை முன்வைத்தார்:
$L \approx 2 \pi \sqrt{ab}$
$a, b$ ஆகியவற்றை அரை பேரச்சு, அரை சிற்றச்சாகக் கொண்டிருக்கும் ஒரு நீள்வட்டத்துக்கும் $\sqrt{ab}$ என்பதை ஆரமாகக் கொண்டிருக்கும் ஒரு வட்டத்துக்கும் ஒரே பரப்பளவு என்பதால் இரண்டின் சுற்றளவும் கிட்டத்தட்ட நெருக்கமானவையாக இருக்கும் என்பது அவருடைய வாதம். இதையே நீட்டித்து, $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ என்பதால் $L \approx \pi (a+b)$ என்று மற்றொரு தோராயமான மதிப்பீட்டையும் முன்வைத்தார்.
1773-ல் ஆய்லர் (Euler), $L \approx \pi \sqrt{2(a^2+b^2)}$ என்ற தோராய மதிப்பீட்டை முன்வைத்தார்.
1792-ல் சிபோஸ் (Sipos) $L \approx 2 \pi \frac{(a+b)^2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}$ என்பதை முன்வைத்தார். இது கெப்ளர், ஆய்லர் இருவருடைய மதிப்பீடுகளையும்விட துல்லியம் அதிகமானது. 1883-ல் முயிர் (Muir), 1889-ல் பியானோ (Peano), இருபதாம் நூற்றாண்டின் ஆரம்பத்தில் லிண்ட்னர் (Lindner) ஆகியோர் மேலும் மேம்படுத்தப்பட்ட தோராய மதிப்பீடுகளை முன்வைத்தனர்.
ராமானுஜன் 1914-ல் இரண்டு தோராய மதிப்பீடுகளை முன்வைத்தார். முதலாவது:
\begin{equation}
L \approx \pi (a+b) \left(3 - \frac{\sqrt{(3a+b)(a+3b)}}{(a+b)}\right)
\end{equation}
L \approx \pi (a+b) \left(3 - \frac{\sqrt{(3a+b)(a+3b)}}{(a+b)}\right)
\end{equation}
இரண்டாவது மதிப்பீட்டை அழகாக எழுத $\lambda$ என்பதை அறிமுகப்படுத்துவோம். $\lambda = \frac{a-b}{a+b}$
\begin{equation}
L \approx \pi (a+b) \left (1 + \frac{3 \lambda^2}{10+\sqrt{4-3\lambda^2}}\right)
\end{equation}
L \approx \pi (a+b) \left (1 + \frac{3 \lambda^2}{10+\sqrt{4-3\lambda^2}}\right)
\end{equation}
ராமானுஜனின் இரண்டு சமன்பாடுகளுமே அவருடைய நோட்டுப் புத்தகத்தில் இருந்தன. பின்னர் 1914-ல் அவர் எழுதிய Modular equations and approximations to $\pi$, Quart. J. Math. (Oxford), 45 (1914) 350-372 என்ற ஆராய்ச்சிக் கட்டுரையில் இடம்பெற்றன. இரண்டையும் உள்ளுணர்வால் உருவாக்கியதாகவே ராமானுஜன் சொல்கிறார். ஆனால், L. Jacobsen and H. Waadeland இருவரும் இந்த இரண்டாவது சமன்பாடு எப்படி வந்திருக்க முடியும் என்பதை Glimt fra analytisk teori for kjedebroker, Del II, Nordisk Mat. Tidskr., 33 (1985) 168-175 என்ற கட்டுரையில் கொடுத்திருப்பதை Gert Almkvist and Bruce Berndt ஆகியோர் தங்களுடைய Gauss, Landen, Ramanujan, the Arithmetic-Geometric Mean, Ellipses, π, and the Ladies Diary, The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 7 (Aug. - Sep., 1988), pp. 585-608 என்ற கட்டுரையில் சுட்டிக்காட்டுகின்றனர்.
இதில் இரண்டாவது சமன்பாடு, மிகத் துல்லியமான ஒன்று. ராமானுஜனுடைய சமன்பாட்டைக் கொண்டு புதன் கிரகத்தின் சுற்றுப்பாதையைக் கணக்கிடும்போது மிக நெருக்கமான, துல்லியமான விடை (பிழை $= 1.5 \times 10^{-13}$ மீட்டர்) கிடைக்கிறது என்றும் ஆல்ம்க்விஸ்ட், பெர்ண்ட் தெரிவிக்கின்றனர். நீள்வட்டத்தின் சுற்றளவைக் கணக்கிடுதல் தொடர்பாக மேலும் சில விஷயங்கள் ராuமானுஜனின் நோட்டுப் புத்தகத்தில் காணப்படுகின்றன.
ஒரு சாதாரண நீள்வட்டம். அதன் சுற்றளவைத் துல்லியமாகக் கணிக்க சமன்பாடு ஏதும் இல்லை என்பதேகூடப் பலருக்குத் தெரிந்திருக்காது. கெப்ளர் தொடங்கி ஆய்லர் வழியாக இதைத் தோராயமாகக் கணக்கிடும் பணியில் மிகத் துல்லியமான சமன்பாடு ராமானுஜன் கொண்டுவந்தது. ராமானுஜனின் வழியில் சென்று, ஜேகப்சனும் வேட்லாண்டும் (மேலே சுட்டப்பட்டுள்ள 1985 கட்டுரையில்) ராமானுஜனுடையதைவிட சற்றே அதிகத் துல்லியம் கொண்ட ஒரு சமன்பாட்டை வைத்துள்ளனர்.
\begin{equation}
L \approx \pi (a+b) \left( \frac{256 -48 \lambda^2 - 21 \lambda^4}{256 - 112 \lambda^2 + 3 \lambda^4} \right)
\end{equation}
L \approx \pi (a+b) \left( \frac{256 -48 \lambda^2 - 21 \lambda^4}{256 - 112 \lambda^2 + 3 \lambda^4} \right)
\end{equation}
இதைப் படிக்கும் யாரேனும் இதனைவிடத் துல்லியமான சமன்பாட்டை வரும் காலங்களில் முன்வைக்கலாம்.
