என் பெண்ணின் ஒன்பதாம் வகுப்புக் கணக்குப் புத்தகத்தில் ஒரு குட்டிச் செய்தி இருந்தது. ஒருவட்ட நாற்கரம் (Cyclic Quadrilateral) என்னும் வடிவத்தின் பரப்பளவைக் கண்டுபிடிக்கும் வாய்ப்பாட்டை பிரம்மகுப்தர் முதன்முதலில் கண்டுபிடித்திருந்தார் என்பதுதான் அது.
ஒருவட்ட நாற்கரம் குறித்து என் பள்ளி வாழ்க்கையில் நான் படித்திருக்கவில்லை. அதன்பின் அதனை எதிர்கொள்ளவும் இல்லை. எனவே விக்கிபீடியாவில் இதனைப் பார்த்தேன்.
ஒருவட்ட நாற்கரம் என்றால் அந்த நாற்கரத்தின் ஒவ்வொரு முனையும் ஒரே வட்டம் ஒன்றில் அமர்ந்திருக்கும். ஒரே நேர்கோட்டில் இல்லாத மூன்று புள்ளிகள் இருந்தால், அவை அனைத்தின் வழியாகவும் செல்லக்கூடிய பிரத்யேக வட்டம் ஒன்றைக் கண்டுபிடிக்கலாம். இந்த மூன்று புள்ளிகளையும் கொண்டு நீங்கள் ஒரு முக்கோணம் வரைந்தால் அந்த முக்கோணம் அழகாக அந்த வட்டத்துக்குள் அடங்கியிருக்கும். அந்த வட்டம் Circumscribed Circle - சுற்றுத்தொடு வட்டம் எனப்படும்.
ஆனால் பொதுவான ஒரு நாற்கரத்தின் அனைத்து முனைகளையும் தொட்டுச் செல்லுமாறு ஒரு வட்டத்தை எப்போதும் வரைந்துவிட முடியாது. ஒருசில நாற்கரங்களில் மட்டுமே இது சாத்தியம். அவ்வாறான வட்டங்களுக்குள் சிக்கெனப் பொருந்திக்கொள்ளும் நாற்கரங்களே பிரம்மகுப்தரின் நாற்கரங்கள். அவற்றுக்குத்தான் பிரம்மகுப்தர் பரப்பளவைக் கண்டுபிடித்திருந்தார்.
இந்த பிரம்மகுப்தர் பொது யுகம் 598-ல் உஜ்ஜைனி நகரில் பிறந்தார். நீண்ட ஆயுளுடன் பொ.யு. 670 வரை உயிர் வாழ்ந்தார். கணிதம், வானியல் இரண்டுக்கும் பெரும் பங்களிப்பு செய்துள்ளார். அவை குறித்து எழுத இங்கே இடமில்லை.
ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களின் நீளமும் தெரிந்திருந்தால் அந்த முக்கோணத்தின் பரப்பு என்ன என்பதைக் கண்டுபிடிக்க ஹீரோவின் வாய்ப்பாடு (அல்லது ஹெரானின் வாய்ப்பாடு) என்ற ஒன்று உள்ளது. இது பொ.யு 60-ல் அலெக்சாண்ட்ரியாவின் ஹீரோ (அல்லது ஹெரான்) என்பவரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. இதற்கு முன்னரேகூட இது பலருக்குத் தெரிந்திருக்கலாம் என்கிறார்கள். ஆனால் இந்த வாய்ப்பாடு ஹீரோ (ஹெரான்) என்பவர் பெயரால்தான் அழைக்கப்பட்டுவருகிறது.
முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்கள், a, b, c என்றால், அம்முக்கோணத்தின் பரப்பு
A = sqrt (s * (s-a) * (s-b) * (s-c))
இங்கே, s = (a+b+c)/2
பிரம்மகுப்தர் ஒருவட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பாகச் சொன்னது இதேமாதிரியில் உள்ளது. ஒருவட்ட நாற்கரத்தின் நான்கு பக்கங்களும் a, b, c, d என்று வைத்துக்கொண்டால், அதன் பரப்பு
A = sqrt ((s-a)*(s-b)*(s-c)*(s-d))
இங்கே, s = (a+b+c+d)/2
ஆகா! முதல் வேலையாக, பேப்பர், பேனா கொண்டு இந்த வாய்ப்பாட்டைத் தருவிக்க முடியுமா என்று பார்த்தேன். முடிந்தது. ஹெரான் வாய்ப்பாடு மிக எளிதானது. ஒரிரு நிமிடங்களுக்குள் செய்துவிடலாம். (பித்தகோரஸ் தேற்றம் தெரிந்திருந்தால் போதும்.) ஆனால், பிரம்மகுப்தர் வாய்ப்பாட்டை நிரூபிக்க இன்னும் கொஞ்சம் நேரம் எடுக்கும். (செய்ய முடியாவிட்டால் கூகிளில் தேடிக் கண்டுபிடித்துவிடலாம்.)
பிரம்மகுப்தரின் நாற்கரத்தை எடுத்துக்கொண்டு அதில் ஒரு பக்கத்தைக் கொஞ்சம் கொஞ்சமாகச் சிறிதாக்கி அந்தப் பக்கமே இல்லாமல் போகும்படிச் செய்துவிடுங்கள். அதாவது அடுத்தடுத்து இருக்கும் இரு முனைகளை இழுத்து ஒட்டவைத்துவிடுங்கள். அதாவது d=0. இப்போது பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாட்டிலிருந்து ஹெரானின் வாய்ப்பாடு தொப்பென்று விழுந்துவிடும். சரி, நாற்கரத்திலிருந்து முக்கோணம் (முக்கரம்) எளிது. ஐங்கரம், அறுகரம்... n-கரம்?
ஒருவட்ட n-கரத்தின் (பலகோணம் - பலகரம்) பரப்பைக் கண்டுபிடிக்க ஏதேனும் மேஜிக் வாய்ப்பாடு இருக்கிறதா என்று தேடிப் பார்த்தேன். இல்லை என்று தெரியவந்தது. ஒழுங்குப் பலகோணம் என்றால் அதன் பரப்பை எளிதாகக் கண்டுபிடித்துவிடலாம். ஆனால் ஒழுங்கற்ற ஒன்று (அதன் ஒவ்வொரு பக்கமும் வெவ்வேறு அளவு கொண்டவை) என்றால் பிரம்மகுப்தர் வாய்ப்பாடுபோல மேஜிக் வாய்ப்பாடு ஏதும் கிடையாது.
ஏழாம் நூற்றாண்டுக்குப் பிறகு யாரும் இதுகுறித்துப் பெரிதாக ஏதும் செய்ததாகத் தெரியவில்லை. 1990-களில் டேவிட் ராபின்ஸ் ஒருவட்ட ஐங்கரம், ஒருவட்ட அறுகரம் ஆகியவற்றின் பரப்பைக் கண்டுபிடித்தார். இதுகுறித்து இகோர் பாக் என்பவரின் ஆராய்ச்சித் தாள் இணையத்தில் கிடைக்கிறது.
இதைப் பிடித்துக்கொண்டு போனால் டேவிட் ராபின்ஸ் என்ற சுவாரசியமான மனிதரின் வாழ்க்கை குறித்த தகவல் கிடைக்கிறது. (இந்தச் செய்தியில் சைக்ளிக் பாலிகன் என்று சொல்ல விட்டுவிட்டார்கள். “Dr. Robbins came up with formulas for pentagons and hexagons that he published to little notice in 1994. He now wants to find the answer for a heptagon.” ராபின்ஸ் கண்டுபிடித்தது சைக்ளிக் பெண்டகன், சைக்ளிக் ஹெக்சகன் ஆகியவற்றின் பரப்பு குறித்த வாய்ப்பாடுகளை.)
ராபின்ஸ் கேன்சர் நோயால் அவதிப்பட்டார். 2003-ம் ஆண்டில் இறந்துபோனார். அவர் ஒருவட்ட ஐங்கரம், ஒருவட்ட அறுகரம் ஆகியவற்றின் பரப்புகளுக்குக் கொடுத்த வாய்ப்பாடுகள் எளிமையானவை அல்ல. ஒருவட்ட ஐங்கரத்தின் பரப்பைக் கண்டுபிடிக்க இங்கே செல்லுங்கள். ஒருவட்ட அறுகரத்தின் பரப்பு இங்கே. ஒருவட்ட எழுகரத்தின் பரப்பைக் கண்டுபிடிக்கும் முன்பாகவே ராபின்ஸ் இறந்துவிட்டார்.
ராபின்ஸ் ஒருவட்ட பலகரங்களின் பரப்பு குறித்து சில ஊகங்களை முன்வைத்தார். அவற்றில் சிலவற்றை இப்போது நிரூபித்துவிட்டார்கள். ஆனாலும் ஒருவட்டப் பலகரத்தின் பரப்பைத் தரக்கூடிய ஓர் எளிமையான வாய்ப்பாடு கண்டறியப்படவில்லை. நம் பள்ளிகளில் படிக்கும் மாணவர்கள் யாரேனும் ஒருவேளை இதனைச் செய்து முடிக்கலாம்.
படம் - விக்கிபீடியாவிலிருந்து |
ஒருவட்ட நாற்கரம் என்றால் அந்த நாற்கரத்தின் ஒவ்வொரு முனையும் ஒரே வட்டம் ஒன்றில் அமர்ந்திருக்கும். ஒரே நேர்கோட்டில் இல்லாத மூன்று புள்ளிகள் இருந்தால், அவை அனைத்தின் வழியாகவும் செல்லக்கூடிய பிரத்யேக வட்டம் ஒன்றைக் கண்டுபிடிக்கலாம். இந்த மூன்று புள்ளிகளையும் கொண்டு நீங்கள் ஒரு முக்கோணம் வரைந்தால் அந்த முக்கோணம் அழகாக அந்த வட்டத்துக்குள் அடங்கியிருக்கும். அந்த வட்டம் Circumscribed Circle - சுற்றுத்தொடு வட்டம் எனப்படும்.
ஆனால் பொதுவான ஒரு நாற்கரத்தின் அனைத்து முனைகளையும் தொட்டுச் செல்லுமாறு ஒரு வட்டத்தை எப்போதும் வரைந்துவிட முடியாது. ஒருசில நாற்கரங்களில் மட்டுமே இது சாத்தியம். அவ்வாறான வட்டங்களுக்குள் சிக்கெனப் பொருந்திக்கொள்ளும் நாற்கரங்களே பிரம்மகுப்தரின் நாற்கரங்கள். அவற்றுக்குத்தான் பிரம்மகுப்தர் பரப்பளவைக் கண்டுபிடித்திருந்தார்.
இந்த பிரம்மகுப்தர் பொது யுகம் 598-ல் உஜ்ஜைனி நகரில் பிறந்தார். நீண்ட ஆயுளுடன் பொ.யு. 670 வரை உயிர் வாழ்ந்தார். கணிதம், வானியல் இரண்டுக்கும் பெரும் பங்களிப்பு செய்துள்ளார். அவை குறித்து எழுத இங்கே இடமில்லை.
ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களின் நீளமும் தெரிந்திருந்தால் அந்த முக்கோணத்தின் பரப்பு என்ன என்பதைக் கண்டுபிடிக்க ஹீரோவின் வாய்ப்பாடு (அல்லது ஹெரானின் வாய்ப்பாடு) என்ற ஒன்று உள்ளது. இது பொ.யு 60-ல் அலெக்சாண்ட்ரியாவின் ஹீரோ (அல்லது ஹெரான்) என்பவரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. இதற்கு முன்னரேகூட இது பலருக்குத் தெரிந்திருக்கலாம் என்கிறார்கள். ஆனால் இந்த வாய்ப்பாடு ஹீரோ (ஹெரான்) என்பவர் பெயரால்தான் அழைக்கப்பட்டுவருகிறது.
முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்கள், a, b, c என்றால், அம்முக்கோணத்தின் பரப்பு
A = sqrt (s * (s-a) * (s-b) * (s-c))
இங்கே, s = (a+b+c)/2
பிரம்மகுப்தர் ஒருவட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பாகச் சொன்னது இதேமாதிரியில் உள்ளது. ஒருவட்ட நாற்கரத்தின் நான்கு பக்கங்களும் a, b, c, d என்று வைத்துக்கொண்டால், அதன் பரப்பு
A = sqrt ((s-a)*(s-b)*(s-c)*(s-d))
இங்கே, s = (a+b+c+d)/2
ஆகா! முதல் வேலையாக, பேப்பர், பேனா கொண்டு இந்த வாய்ப்பாட்டைத் தருவிக்க முடியுமா என்று பார்த்தேன். முடிந்தது. ஹெரான் வாய்ப்பாடு மிக எளிதானது. ஒரிரு நிமிடங்களுக்குள் செய்துவிடலாம். (பித்தகோரஸ் தேற்றம் தெரிந்திருந்தால் போதும்.) ஆனால், பிரம்மகுப்தர் வாய்ப்பாட்டை நிரூபிக்க இன்னும் கொஞ்சம் நேரம் எடுக்கும். (செய்ய முடியாவிட்டால் கூகிளில் தேடிக் கண்டுபிடித்துவிடலாம்.)
பிரம்மகுப்தரின் நாற்கரத்தை எடுத்துக்கொண்டு அதில் ஒரு பக்கத்தைக் கொஞ்சம் கொஞ்சமாகச் சிறிதாக்கி அந்தப் பக்கமே இல்லாமல் போகும்படிச் செய்துவிடுங்கள். அதாவது அடுத்தடுத்து இருக்கும் இரு முனைகளை இழுத்து ஒட்டவைத்துவிடுங்கள். அதாவது d=0. இப்போது பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாட்டிலிருந்து ஹெரானின் வாய்ப்பாடு தொப்பென்று விழுந்துவிடும். சரி, நாற்கரத்திலிருந்து முக்கோணம் (முக்கரம்) எளிது. ஐங்கரம், அறுகரம்... n-கரம்?
ஒருவட்ட n-கரத்தின் (பலகோணம் - பலகரம்) பரப்பைக் கண்டுபிடிக்க ஏதேனும் மேஜிக் வாய்ப்பாடு இருக்கிறதா என்று தேடிப் பார்த்தேன். இல்லை என்று தெரியவந்தது. ஒழுங்குப் பலகோணம் என்றால் அதன் பரப்பை எளிதாகக் கண்டுபிடித்துவிடலாம். ஆனால் ஒழுங்கற்ற ஒன்று (அதன் ஒவ்வொரு பக்கமும் வெவ்வேறு அளவு கொண்டவை) என்றால் பிரம்மகுப்தர் வாய்ப்பாடுபோல மேஜிக் வாய்ப்பாடு ஏதும் கிடையாது.
ஏழாம் நூற்றாண்டுக்குப் பிறகு யாரும் இதுகுறித்துப் பெரிதாக ஏதும் செய்ததாகத் தெரியவில்லை. 1990-களில் டேவிட் ராபின்ஸ் ஒருவட்ட ஐங்கரம், ஒருவட்ட அறுகரம் ஆகியவற்றின் பரப்பைக் கண்டுபிடித்தார். இதுகுறித்து இகோர் பாக் என்பவரின் ஆராய்ச்சித் தாள் இணையத்தில் கிடைக்கிறது.
இதைப் பிடித்துக்கொண்டு போனால் டேவிட் ராபின்ஸ் என்ற சுவாரசியமான மனிதரின் வாழ்க்கை குறித்த தகவல் கிடைக்கிறது. (இந்தச் செய்தியில் சைக்ளிக் பாலிகன் என்று சொல்ல விட்டுவிட்டார்கள். “Dr. Robbins came up with formulas for pentagons and hexagons that he published to little notice in 1994. He now wants to find the answer for a heptagon.” ராபின்ஸ் கண்டுபிடித்தது சைக்ளிக் பெண்டகன், சைக்ளிக் ஹெக்சகன் ஆகியவற்றின் பரப்பு குறித்த வாய்ப்பாடுகளை.)
ராபின்ஸ் கேன்சர் நோயால் அவதிப்பட்டார். 2003-ம் ஆண்டில் இறந்துபோனார். அவர் ஒருவட்ட ஐங்கரம், ஒருவட்ட அறுகரம் ஆகியவற்றின் பரப்புகளுக்குக் கொடுத்த வாய்ப்பாடுகள் எளிமையானவை அல்ல. ஒருவட்ட ஐங்கரத்தின் பரப்பைக் கண்டுபிடிக்க இங்கே செல்லுங்கள். ஒருவட்ட அறுகரத்தின் பரப்பு இங்கே. ஒருவட்ட எழுகரத்தின் பரப்பைக் கண்டுபிடிக்கும் முன்பாகவே ராபின்ஸ் இறந்துவிட்டார்.
ராபின்ஸ் ஒருவட்ட பலகரங்களின் பரப்பு குறித்து சில ஊகங்களை முன்வைத்தார். அவற்றில் சிலவற்றை இப்போது நிரூபித்துவிட்டார்கள். ஆனாலும் ஒருவட்டப் பலகரத்தின் பரப்பைத் தரக்கூடிய ஓர் எளிமையான வாய்ப்பாடு கண்டறியப்படவில்லை. நம் பள்ளிகளில் படிக்கும் மாணவர்கள் யாரேனும் ஒருவேளை இதனைச் செய்து முடிக்கலாம்.