ராமானுஜன் படித்த புத்தகங்கள்

[என்னுடைய வேறு ஒரு வலைப்பதிவில் எழுதியது. கணிதச் சமன்பாடுகளை blogger.com தளத்திலேயே மிக அழகான முறையில் எப்படி எழுதுவது என்பதைக் கண்டுபிடித்துவிட்டதால், இப்போது தாய்த்தளத்திலேயே இந்தப் பதிவுகளைச் சேர்த்துவிட்டு, மேலும் எழுதவேண்டிய பதிவுகளையும் இங்கேயே தொடர்ந்து எழுதுவதாக முடிவு செய்திருக்கிறேன்.]

கணித மேதை ராமானுஜன் பிறந்த நாள் நேற்று. ராமானுஜன் தொடர்பாகச் சில பதிவுகளை இட எண்ணியுள்ளேன். ராமானுஜன் இந்தியாவில் இருந்த காலகட்டத்தில், அதாவது பிரிட்டனின் கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக்கழகத்துக்குச் செல்வதற்குமுன்பாக எம்மாதிரியான கணிதப் புத்தகங்களையெல்லாம் படித்திருந்தார், எம்மாதிரியான கணிதத் துறைகள் பற்றிய தேர்ச்சி அவரிடம் இருந்தது என்பது முக்கியமான ஒரு கேள்வி. இதைப் பற்றி ராமானுஜனின் கணிதப் பேராசிரியர் ஹார்டியிடம் கேட்டபோது அவர் இவ்வாறு சொன்னார்:

நான் ராமானுஜனை தினம் தினம் சந்தித்தேன். இம்மாதிரியான தகவல்களை அவரிடம் எளிதில் கேட்டிருந்திருக்க முடியும். ஆனால் இப்படியான எந்தக் கேள்வியையும் அவரிடம் நான் கேட்கவில்லை. கெய்லியின் அல்லது கிரீன்ஹில்லின் “எல்லிப்டிக் ஃபங்க்‌ஷன்ஸ்” புத்தகத்தை அவர் பார்த்திருக்கிறாரா என்றுகூட நான் கேட்கவில்லை. இப்போது அதை நினைக்கையில் வருத்தமாக இருக்கிறது. ஆனால் இது இயல்பானதுதான். முதலாவதாக ராமானுஜன் இவ்வளவு இளம் வயதில் இறந்துபோவார் என்று நான் எதிர்பார்க்கவில்லை. அவருக்குத் தன்னுடைய வரலாற்றின்மீதோ உளவியல்மீதோ விருப்பம் இருக்கவில்லை. தன் வேலையில் மட்டும் ஈடுபாடு கொண்டிருந்த கணிஞர் அவர். நானும் ஒரு கணிஞன். ராமானுஜனைச் சந்திக்கும் எந்த ஒரு கணிஞருக்கும் வரலாற்று ஆராய்ச்சியில் ஈடுபடுவதைவிட வேறு சுவாரசியமான விஷயங்கள் பல இருந்தன. அவரிடம்போய் இந்தத் தேற்றத்தை இந்த இடத்தில் பார்த்தாயா அல்லது அந்த இடத்தில் பார்த்தாயா என்று கேட்பது மூடத்தனம். எனெனில் அவரே ஒவ்வொரு நாளும் பத்து புதுத் தேற்றங்களை உருவாக்கிக்கொண்டிருந்தார்.

இந்தியர்கள் பலரும் ராமானுஜன் கணிதத்தைத் தன் கனவிலே கண்டடைந்தவர் என்று நினைக்கிறார்கள். ராமானுஜனுமேகூட நாமகிரித் தாயார் கணிதச் சமன்பாடுகளைத் தன்னிடம் தனிமையில் சொல்வதாகவேறு சொல்லித் தொலைத்துவிட்டார். இதனால் முன்னோடிகளின் எந்தவிதமான புத்தகங்களையும் ஆராய்ச்சிக் கட்டுரைகளையும் படிக்காது, வெறும் கற்பனையில் ராமானுஜனின் கணித ஆராய்ச்சிகள் நடந்தன என்பதுபோன்ற முடிவுகளை நோக்கி நாம் செல்லும் அபாயம் உள்ளது. உண்மையில் அவர் எப்படிப்பட்ட புத்தகங்களைப் படித்திருந்தார் என்பது குறித்து ப்ரூஸ் பெர்ண்ட், ராபர்ட் ரேங்கின் இருவரும் ஒரு கட்டுரையை ‘தி அமெரிக்கன் மேத்தமேடிகல் மன்த்லி’ என்ற சஞ்சிகையில் எழுதியிருக்கிறார்கள். (The Books Studied by Ramanujan in India, Bruce C. Berndt and Robert A. Rankin, The American Mathematical Monthly, Vol. 107, No. 7 (Aug. - Sep., 2000), pp. 595-601) அதன்படி, ராமானுஜன் நிச்சயமாகக் கீழ்க்கண்ட புத்தகங்களைப் படித்திருக்கிறார்:

1. Plane Trigonometry, S.L. Loney
2. A Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics, G.S. Carr
3. Differential Calculus, J. Edwards
4. An Elementary Treatise on the Integra Calculus, B. Williamson
5. Orders of Infinity, G.H. Hardy

கூடவே, அவர் கீழ்க்கண்ட புத்தகங்களை ஓரளவுக்காவது படித்திருக்கிறார் என்பதற்கான சில சான்றுகள் இருக்கின்றன.

1. The Applications of Elliptic Functions, A.G. Greenhill
2. An Elementary Treatise on Elliptic Functions, A. Cayley
3. The Theory of Numbers, G.B. Mathews

லோனியின் முக்கோணவியல் பற்றிய புத்தகம், மேல்நிலைப் பள்ளி அளவிலானது. அக்கால மாணவர்கள் பலரும் முக்கோணவியலைப் படித்திருப்பார்கள். இன்றும் மாணவர்கள் இதனைப் படிக்கிறார்கள். காருடைய சினாப்சிஸ் புத்தகம் கணிதச் சமன்பாடுகளைத் தொகுத்து, கூடவே சில விளக்கங்களுடன் அமைந்தது. இந்தப் புத்தகம் ராமானுஜனின் வாழ்க்கையில் பெரும் தாக்கத்தை ஏற்படுத்தியது. கணிதச் சமன்பாடுகளை எப்படித் தருவிப்பது என்று படிப்படியாக எழுதுவதைக் காட்டிலும் ஒன்றன்பின் ஒன்றாக முடிவுற்ற சமன்பாடுகளை அடுக்கிச் செல்லும் வழக்கத்தை ராமானுஜன் கடைப்பிடிப்பதற்கு இந்தப் புத்தகம் காரணமாக இருக்கக்கூடும். கூடவே இந்தப் புத்தகம், அன்று அறியப்பட்டிருந்த பல்வேறு கணிதத் துறைகள், கணித ஆராய்ச்சி இதழ்கள் ஆகியவற்றின் பட்டியலையும் கொடுத்திருந்தது. இந்தப் புத்தகத்தில் எல்லிப்டிக் ஃபங்க்‌ஷன்ஸ், மாடுலர் ஃபங்க்‌ஷன்ஸ் ஆகியவை குறித்தும் தகவல்கள் இருந்தன என்பது முக்கியம்.

அடுத்த இரண்டு புத்தகங்களும் நவீன கணிதத்தின் மிக அடிப்படையான அனாலிசிஸ் என்ற துறையில் வரக்கூடிய கால்குலஸ் - நுண்கணிதம். இன்று மேல்நிலைப் பள்ளியிலும் கல்லூரியில் இளநிலையிலும் இவற்றை நாம் பயில்கிறோம்.

ஹார்டியின் புத்தகம் பள்ளிக்கூட அளவிலிருந்து உயர்கிறது. எம்மாதிரியான ஃபங்க்‌ஷன்ஸ் (சார்புகள்) எவ்வாறு முடிவிலியை நோக்கி வேகமாகச் செல்கின்றன என்பது குறித்த புத்தகம் இது. உதாரணமாக, $f(x) = x$ என்ற சார்பைவிட $f(x) = x^2$ என்பது முடிவிலியை நோக்கி வேகமாகச் செல்லும். $x^3$ அதைவிட வேகமாகச் செல்லும். $e^x$ இவை அனைத்தையும்விட வேகமாகச் செல்லும். மாநிலக் கல்லூரிக் கணிதப் பேராசிரியர் சி.என்.கணபதி ஐயரின் அறையில் இந்தப் புத்தகத்தை ராமானுஜன் பார்த்திருக்கிறார். அவரிடம் வாங்கிப் படித்திருக்கவேண்டும். கணபதி ஐயருக்கு ராமானுஜன் 1914-ல் எழுதிய கடிதத்தில் இவ்வாறு குறிப்பிடுகிறார்: “உங்களுடைய அறையில் நான் பார்த்த ‘ஆர்டர்ஸ் ஆஃப் இன்ஃபினிடி’ புத்தகம்தான் எனக்கு ஹார்டியையும் லிட்டில்வுடையும் அறிமுகப்படுத்தியது.” அப்படி அவர் கண்டறிந்த ஹார்டிக்குத்தான் தன் சமன்பாடுகளைக் கடிதமாக எழுதி அனுப்பினார். ஹார்டி தன் புத்தகத்தில், ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணுக்குக்கீழ் எத்தனை பகா எண்கள் இருக்கின்றன என்பது குறித்து சரியானதொரு சமன்பாடு கண்டுபிடிக்கப்படவில்லை என்று எழுதியிருந்தார். அதனைக் குறிப்பிட்டு ராமானுஜன், தான் அப்படியொரு சமன்பாட்டைக் கண்டுபிடித்துள்ளதாகச் சொல்லி, ஒரு சமன்பாட்டையும் கொடுத்திருந்தார். (ஆனால் அந்தச் சமன்பாடு பிழையானது.) தன் புத்தகத்தை எங்கோ இந்தியாவின் ஒரு மூலையில் உள்ள இந்தப் பையன் படித்திருக்கிறான் என்பதும் ஹார்டி ராமானுஜன்மீது பரிவுகொள்ள ஒரு காரணமாக இருந்திருக்கக்கூடும்.

கிரீன்ஹில், கெய்லி இருவரும் எல்லிப்டிக் ஃபங்க்‌ஷன்ஸ் குறித்துப் புத்தகங்களை எழுதியிருந்தனர். கெய்லியின் புத்தகத்தை ராமானுஜன் படித்திருக்க வாய்ப்பு குறைவு என்றே பெர்ண்ட் கருதுகிறார். சென்னைப் பல்கலைக்கழக நூலகத்தில் 1914-ல் கிரீன்ஹில்லின் புத்தகம்தான் இருந்துள்ளது. கெய்லியின் புத்தகம் பின்னாட்களில்தான் (1970களில்) வாங்கப்பட்டுள்ளது. எல்லிப்டிக் ஃபங்க்‌ஷன்கள் ராமானுஜனை மிக மிக வசீகரித்தன. அவருடைய மிகச் சுவாரசியமான பல கண்டுபிடிப்புகள் இத்துறை சார்ந்தவை. உதாரணமாக 1729 என்ற எண். நோய்வாய்ப்பட்டு மருத்துவமனையில் இருந்த ராமானுஜனைப் பார்க்க ஹார்டி வருகிறார். தான் வந்த டாக்சியின் என் 1729 என்றும் அது சுவாரசியமற்றதோர் எண் என்றும் ஹார்டி சொல்கிறார். அதற்கு பதிலாக ராமானுஜன், “இல்லை, இல்லை ஹார்டி! இருவேறு முறைகளில் இரண்டு எண்களின் மும்மடிகளின் கூட்டுத்தொகையாக வரக்கூடிய மிகச்சிறிய எண் இந்த 1729-தான்” என்கிறார். [It is the smallest number expressible as a sum of two cubes in two different ways.]

பலரும் நினைப்பதுபோல ராமானுஜன் அந்த நேரத்தில் பட்டென்று இதனை யோசித்துச் சொல்லிவிடவில்லை. கணிதம் அப்படியான மந்திரவித்தையெல்லாம் அல்ல. ராமானுஜனின் ‘தொலைந்த நோட்டுப்புத்தக’த்தின் ஒரு பக்கத்தில் இதற்கான அடிப்படை காணப்படுகிறது. (The 1729 K3 Surface, Ken Ono and Sarah Trebat-Leder கட்டுரையிலிருந்து இந்தப் படத்தை எடுத்திருக்கிறேன்.)

இந்தப் பக்கத்தைப் பார்த்தால் 1729 என்னும் எண் மந்திர வித்தையல்ல, மாறாக அங்கே கொடுக்கப்பட்டிருக்கும் ஃபார்முலாதான் ஒரு மாயவித்தை என்று தோன்றும். Michael D. Hirschhorn இந்தச் சமன்பாட்டை நிரூபித்து எழுதியிருக்கும் கட்டுரையிலிருந்து (An Amazing Identity of Ramanujan, Michael D. Hirschhorn, Mathematics Magazine, Vol. 68, No. 3 (Jun., 1995), pp. 199-201) தெளிவான படமாக எடுத்துக் காண்பித்துள்ளேன்.

$9^3+10^3 = 12^3 + 1^3 (=1729)$ மட்டுமல்ல, இன்னும் பல்லாயிரம் எண்களைக் கொடுக்கும் மாஸ்டர் கீ இந்தச் சமன்பாடுதான் என்பதை நீங்கள் பார்க்கலாம். இதற்கான அடிப்படைகளையெல்லாம் ராமானுஜனுக்குக் கொடுத்தது கிரீன்ஹில்லின் எல்லிப்டிக் ஃபங்க்‌ஷன்ஸ் புத்தகமே.

கேம்ப்ரிட்ஜில் ராமானுஜனிடம் கெய்லியின் புத்தகம் இருந்ததைத் தான் பார்த்ததாக அவருடைய நண்பர் ஆனந்த ராவ் குறிப்பிடுகிறார்.

மாத்தியூஸின் ‘தியரி ஆஃப் நம்பர்ஸ்’ புத்தகம் சென்னையில் ராமானுஜனின் நண்பர் ஒருவர் வீட்டில் இருந்துள்ளது. இந்தப் புத்தகம் பற்றி ராமானுஜன் தன் இன்னொரு நண்பருக்கு எழுதும் கடிதத்தில் குறிப்பிடுகிறார். ஆனால் அதை ராமானுஜன் முழுமையாகப் படித்திருக்கவில்லை என்பது தெரிகிறது. ஏனெனில் ராமானுஜனுக்கு ரீமானுடைய (Riemann) பகா எண்கள் குறித்த ஆராய்ச்சி பற்றியும், ரீமான்-ஸீட்டா ஃபங்க்‌ஷன் பற்றியும், அவற்றின் கலப்பெண் ஜீரோக்கள் பற்றியும் தெரிந்திருக்கவில்லை. இவையெல்லாம் மாத்தியூஸின் புத்தகத்தின் பத்தாவது அத்தியாயத்தில் கொடுக்கப்பட்டிருக்கின்றன.

***

பெர்ண்ட், ரேங்கின் கட்டுரையிலிருந்து நாம் கீழ்க்கண்டவற்றைத் தெரிந்துகொள்ளலாம். அடிப்படைகள் ஒன்றுமே தெரியாமல் மோட்டுவளையைப் பார்த்துக்கொண்டு, கடவுள் வழிபாட்டில் மட்டும் ஈடுபட்டுக்கொண்டிருந்தால் நாமகிரித் தாயாரோ அல்லது நரசிம்மரோ அல்லது சிவனோ காதில் வந்து கணக்கு சொல்லிக் கொடுக்கமாட்டார்கள். நீங்கள் கணிதமேதையாகவெல்லாம் ஆக முடியாது. ராமானுஜனும் பிற கணித விற்பன்னர்களைப் போலவே அடிப்படைப் புத்தகங்களையெல்லாம் படித்துத்தான் கணித விற்பன்னராக ஆகியுள்ளார். அவருடைய நல்ல காலம், கும்பகோணம் கலைக்கல்லூரி நூலகம், சென்னைப் பல்கலைக்கழக நூலகம், பேராசிரியர்கள் அறிமுகம், அவர்களிடம் உள்ள புத்தகங்கள், சென்னைப் பல்கலைக்கழக நூலகத்தில் அக்காலத்தில் இருந்த கணித ஆராய்ச்சி இதழ்கள் ஆகியவை அவருக்குக் கிட்டின. அவரிடம் இயற்கையாக இருந்த அறிவைக் கொண்டு பிறருடைய துணை இன்றி அந்தப் புத்தகங்களையும் ஆராய்ச்சி இதழ்களையும் படித்துத் தேர்ச்சியுற அவரால் முடிந்தது. அத்துடன் விட்டுவிடாமல் எல்லிப்டிக் ஃபங்க்‌ஷன்ஸ், மாடுலர் ஃபங்க்‌ஷன்ஸ் போன்றவற்றை வெகுவாக முன்னெடுத்துச் செல்ல அவரால் முடிந்தது. இவற்றின்மீது கட்டி எழுப்பப்பட்ட அவருடைய திறன், கணிதத்தின் புதிய புதிய துறைகளுக்குள் அவரைக் கூட்டிக்கொண்டு சென்றது.

இதை பாரம்பரிய, ஆசாரப் பார்ப்பனக் குடும்பத்தில் பிறந்த ராமானுஜன் கடவுள் அருள், நாமகிரித் தாயாரின் கருணை என்று பார்த்ததில் ஆச்சரியமே இல்லை. நாம் இன்றும் அவ்வாறு பார்ப்பதில்தான் பிரச்னையே.