Wednesday, September 22, 2010

ஃபெர்மாவின் கடைசித் தேற்றம்: பத்து வயதுச் சிறுவனின் வாழ்நாள் கனவு

(புத்தகம் பேசுது செப்டெம்பர் 2010 இதழில் வெளியானது)

Fermat’s Last Theorem, Simon Singh, Harper Perennial

சிறு வயதில் கணிதப் பாடப் புத்தகத்தில் பிதகோரஸ் தேற்றம் என்பதைப் படித்திருப்போம். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் இரு பக்கங்களின் வர்க்கத்தைக் கூட்டினால், அதன் செம்பக்கத்தின் வர்க்கம் கிடைக்கும். x2 + y2 = z2 என்பதுதான் இதன் சமன்பாட்டு வடிவம். இதைப் படிக்காமல் எந்த மாணவரும் பத்தாம் வகுப்பைக் கடக்கமுடியாது.

பியர் தி ஃபெர்மா என்ற ஒரு பிரெஞ்சுக்காரர் 17-ம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்தவர். அவர் வக்கீலாகவும் துலூஸ் என்ற நகரின் நீதிபதியாகவும் இருந்தவர். ஓய்வு நேரத்தில் கணிதத்தில் ஆழ்வது அவரது வழக்கம். அந்தக் காலகட்டத்தில் ஐரோப்பாவில் கணித மறுமலர்ச்சி நடந்துகொண்டிருந்தது. இந்தியாவிலிருந்து அரேபியா சென்ற கணிதம், அங்கிருந்து இத்தாலிக்கு 12-ம், 13-ம் நூற்றாண்டுகளில் சென்றிருந்தது. மற்றொரு பக்கம், 2,000 ஆண்டுகளுக்குமுன் கிரேக்கர்கள் உருவாக்கியிருந்த அற்புதமான கணிதங்கள் மொழிமாறி லத்தீன் வழியாக மீண்டும் ஐரோப்பாவுக்குள் நுழைந்தது.

இரண்டு முக்கியமான புத்தகங்கள் ஐரோப்பிய கணித மறுமலர்ச்சிக்கு வித்திட்டன. ஒன்று யூக்ளிட் எழுதிய ஜியோமெட்ரி. வடிவ கணிதம் பற்றிய அற்புதமான இந்தப் புத்தகம் இன்றும் மாணவர்களுக்குப் பரிந்துரைக்கப்படும் தரத்தில் உள்ளது. மற்றொன்று டயஃபேண்டஸ் எழுதிய அரிதமெடிகா என்ற புத்தகம். யூக்ளிட், டயஃபேண்டஸ் இருவருமே கிரேக்கர்கள். தங்கள் புத்தகங்களை கிரேக்க மொழியில் அவர்கள் எழுதியிருந்தாலும், 17-ம் நூற்றாண்டில் லத்தீன் மொழி வழியாகவே இந்தப் புத்தகங்கள் ஐரோப்பியர்களுக்குக் கிடைத்தன.

ஃபெர்மா, தினமும் டயஃபேண்டஸின் புத்தகத்துடன்தான் தன் பொழுதைக் கழிப்பார். அரிதமெடிகா புத்தகம், இன்றைய ‘நம்பர் தியரி’ எனப்படும் துறையின் ஆரம்பம் என்று வைத்துக்கொள்ளலாம். இந்தப் புத்தகத்தில் பல்வேறு சமன்பாடுகள் இருக்கும். அவை அனைத்துக்கும் முழு எண்கள் மட்டுமே விடைகளாக இருக்கலாம். 1, 2, 3, 4... போன்ற நேர் எண்களும், -1, -2, -3, -4 போன்ற எதிர்ம எண்களும், 0 என்ற பூஜ்யமும் மட்டுமே அந்தச் சமன்பாடுகளுக்கு விடைகள் ஆகமுடியும். பின்னங்களும் சில இடங்களில் அனுமதிக்கப்படும்.

அந்தப் புத்தகத்தில்தான் பிதகோரஸின் சமன்பாட்டை ஃபெர்மா பார்த்தார். x2 + y2 = z2 என்ற சமன்பாட்டுக்கு முழு எண்கள் விடைகளாக வரக்கூடிய பல தீர்வுகள் உண்டு. உதாரணமாக, 32 + 42 = 52. அதேபோல, 52 + 122 = 132. இப்படிப் பல முழு எண் தீர்வுகள் உள்ள ஒரு சமன்பாடு இது. ஆனால் x3 + y3 = z3 என்ற சமன்பாட்டுக்கு முழு எண்களில் தீர்வுகள் உண்டா? x4 + y4 = z4 என்ற சமன்பாட்டுக்கு?

ஃபெர்மா கொஞ்சம் குறும்புக்கார மனிதர். தன் புத்தகத்தின் மார்ஜினில் ஒரு சிறு குறிப்பு எழுதியிருந்தார்: ‘xn + yn = zn என்ற சமன்பாட்டில், n ≥ 3 என்ற கட்டத்தில் முழு எண்களில் தீர்வுக்குச் சாத்தியமே இல்லை. அதற்கான அழகான நிரூபணம் ஒன்றைக் கண்டுபிடித்துள்ளேன். ஆனால் அதனை எழுத இந்த மார்ஜினில் இடம் இல்லை.’

இப்படிச் சொல்லிவிட்டு மனிதர் செத்தும் போய்விட்டார். அடுத்த 350 ஆண்டுகளுக்கு உலகின் கணித நிபுணர்கள் பைத்தியம் பிடித்து அலைந்தனர். இந்த மனிதர் ஃபெர்மா சொன்னது நிஜம்தானா? இதற்கு நிரூபணம் உள்ளதா? அந்த நிரூபணம் அவ்வளவு எளிதானதா? ஃபெர்மாவின் இந்தக் கூற்றைத்தான் ஃபெர்மாவின் கடைசித் தேற்றம் (ஃபெர்மாஸ் லாஸ்ட் தியரம்) என்றனர் கணிதவியலாளர்கள். கடைசி என்றால், 20-ம் நூற்றாண்டின் பெரும்பகுதியில் இன்னமும் விடை கண்டுபிடிக்கப்படாமல் இருக்கும் ஒரு கணிதச் சிக்கல் என்று பொருள். உண்மையில் இதனை ‘தேற்றம்’ என்று சொல்லக்கூடாது. ‘யூகம்’ என்றுதான் சொல்லவேண்டும். ஆனால் ‘தேற்றம்’ என்ற பெயரே கடைசிவரை பரவியிருந்தது.

358 ஆண்டுகள் கழித்து ஆண்ட்ரூ வைல்ஸ் என்பவர் இந்தச் சிக்கலுக்கான நிரூபணத்தை முன்வைக்கிறார்.

இதுதான் சைமன் சிங்கின் புத்தகம் எடுத்துக்கொள்ளும் பொருள். ஃபெர்மா யார், ஆண்ட்ரூ வைல்ஸ் யார் என்பதிலிருந்து ஆரம்பிக்கும் கேள்விகளுக்கான விடைகளில் மேலும் பலர் வருகின்றனர். கணித உலகின் பல வித்தியாசமான, வியக்கத்தக்க நபர்களை நாம் பார்க்கிறோம்.

முதலில் ஆண்ட்ரூ வைல்ஸையே எடுத்துக்கொள்வோம். பத்து வயதில் ஒரு நூலகத்தில் இ.டி. பெல் என்பவர் எழுதிய ‘கடைசி கணிதப் புதிர்’ என்ற புத்தகத்தைப் படிக்கும்போதுதான் வைல்ஸ், ஃபெர்மாவின் கடைசித் தேற்றம் பற்றித் தெரிந்துகொள்கிறார். ஒரு சிறுவனுக்கே உள்ள ஆர்வத்தில் ஃபெர்மாவின் மார்ஜினுக்குள் அடங்காத நிரூபணத்தை தன் ஐந்தாம் வகுப்பு கணக்கு கொண்டு நிரூபித்துவிடத் துடிக்கிறார். முடியாதபோது ஆர்வம் பன்மடங்கு அதிகமாகிறதே தவிர, குறையவில்லை. மேற்படிப்பில் கணிதம் எடுத்து கேம்பிரிட்ஜில் கணிதத்தில் முனைவர் பட்டம் பெற்று அமெரிக்காவின் பிரின்ஸ்டன் பல்கலைக்கழகத்தில் வேலைக்குச் சேர்ந்த இவர், தன் வாழ்நாளுக்குள் ஃபெர்மாவின் கடைசித் தேற்றத்தை உடைத்தே தீருவது என்று தனக்குள்ளாகக் கங்கணம் கட்டிக்கொள்கிறார்.

சோஃபி ஜெர்மைன் என்ற ஃபிரெஞ்சுப் பெண் கணித நிபுணரின் கதை அற்புதமானது. பெண்களுக்கு கல்வி கற்க அனுமதி இல்லாத காலம் அது. எனவே ஆணாகப் பொய் சொல்லி பல்கலைக்கழகத்தில் சேர்ந்து படிக்கிறார். அவரது ஆசிரியர் ஜோசஃப் தி லக்ராஞ்ச் என்ற மாபெரும் கணித, இயல்பியல் மேதை சோஃபியின் சில வீட்டுப் பாடங்களைப் பார்த்து அதிர்ந்துபோய் அவரை நேரில் பார்க்க வருமாறு கூறுகிறார். சோஃபி உண்மையைச் சொல்லும் நேரம் வந்துவிடுகிறது. ஆனால் நல்ல வேளையாக லக்ராஞ்ச், ஒரு பெண்ணா கணிதம் படிப்பது என்று கொதித்து எழுவதில்லை. ஜெர்மானியக் கணித மேதை கார்ல் கவுஸுடன் சோஃபி கடித உரையாடலில் ஈடுபட்டு, ஃபெர்மாவின் கடைசித் தேற்றத்தை நிரூபிக்குமாறு வேண்டிக்கொள்கிறார். ஆனால் கவுஸுக்கு இதுபோன்ற கணிதப் புதிர்களில் ஆர்வம் இல்லை. ஆனாலும் சோஃபியே இந்தப் புதிரைத் தீர்ப்பதில் பெருமளவு முன்னேறுகிறார். நெப்போலியனின் படை ஜெர்மனியைத் தாக்கும்போது கவுஸின் உயிருக்கு எந்தவிதத்திலும் ஆபத்து நேர்ந்துவிடக்கூடாது என்று பிரெஞ்சுப் படைத் தளபதிகளுக்குத் தகவல் அனுப்பி, அதனைச் சாதித்த சோஃபி, அதற்காகவும் சேர்த்து கணித வரலாற்றில் முக்கியத்துவம் பெறுகிறார்.

பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டு கணிதச் சாதனைகளைக் கொண்டு ஃபெர்மாவின் கடைசித் தேற்றத்தை யாராலும் முழுமையாக நிரூபிக்க முடிவதில்லை. தனித்தனியாக n = 3, n = 4, n = 5 என்பதெற்கெலாம் தீர்வுகளைக் கண்டுபிடிக்கும் கணித வல்லுனர்களால், எல்லா n-க்கும் சேர்த்துத் தீர்வு காணமுடிவதில்லை.

இருபதாம் நூற்றாண்டில்தான் இதற்கான அடிப்படைக் கருவிகளைக் கண்டுபிடிக்கவேண்டும்.

அடுத்து நாம் காண்பது ஒரு சோகக் கதையை. இரண்டாம் உலகப்போரில் அணுகுண்டு வீச்சில் பாதிக்கப்பட்ட ஜப்பானில் ஒரு இளைஞர் கூட்டம் கணிதத்தில் மூழ்கி தங்கள் சோகத்தைத் தணித்துக்கொள்கிறது. அந்தக் கூட்டத்தில் இருவர் யுடாகா தானியாமா, கோரோ ஷிமுரா என்பவர்கள். நூலகத்திலிருந்து ஒரு புத்தகத்தை இரவல் வாங்க வரும் ஷிமுரா, அதே புத்தகத்தை தானியாமா எடுத்திருப்பதைக் கண்டு நட்பாகிறார். இருவரும் மாடுலாரிடி தேற்றம் என்ற துறையில் மூழ்குகின்றனர். தானியாமாவுக்கு ஒரு பெண் நண்பரும் உள்ளார். இருவரும் திருமணத்துக்கு ஏற்பாடுகள் செய்கின்றனர். ஆனால் திடீரென ஒரு நாள் தானியாமா தற்கொலை செய்துகொள்கிறார்.

தன் தற்கொலைக் குறிப்பில், தான் பாதி பாடம் நடத்திக்கொண்டிருந்த வகுப்பு மாணவர்களிடமும் தன் சக ஆசிரியர்களிடமும் மன்னிப்பு கேட்டுக்கொள்ளும் தானியாமா, தான் தற்கொலை செய்துகொண்டது ஏன் என்பதற்கான காரணத்தைச் சொல்லவே இல்லை. சில நாள்களில் அவருடைய பெண் நண்பரும் தற்கொலை செய்துகொள்கிறார். ஷிமுரா, தன் நண்பரின் நினைவாக மேற்கொண்டு தொடரும் ஆராய்ச்சியின் முடிவில் ‘தானியாமா-ஷிமுரா யூகம்’ என்ற புதிரை முன்வைக்கிறார்.

சில ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு அந்த யூகத்தில் மேற்கொண்டு ஆராய்ச்சிகள் செய்யும் ஆந்திரே வெய்ல் என்பவர் பெயரையும் சேர்த்து, ‘தானியாமா-ஷிமுரா-வெய்ல் யூகம்’ என்று அதற்குப் பெயர் வருகிறது.

அதைப் பார்க்கும் அனைவருக்குமே ஒன்று தெளிவாகிறது. ஒருவிதத்தில் ஃபெர்மாவின் கடைசித் தேற்றமும், இந்த தானியாமா-ஷிமுரா-வெய்ல் யூகமும் ஒன்றுதான். ஒன்றை நிரூபித்தால் மற்றொன்று நிரூபிக்கப்படும்.

ஆண்ட்ரூ வைல்ஸ் இந்த தானியாமா-ஷிமுரா-வெய்ல் யூகத்தைத்தான் கையில் எடுத்துக்கொள்கிறார். கடைசியில் வெற்றியும் பெறுகிறார்.

358 ஆண்டுகள், நூற்றுக்கணக்கான கணித மேதைகளை கடும் குழப்பத்தில் ஆழ்த்திய இந்தப் புதிருக்கு ஃபெர்மா நிஜமாகவே விடையைக் கண்டுபிடித்திருந்தாரா அல்லது சும்மா புருடா விட்டாரா என்ற கேள்விக்கு நம்மால் நிஜமாகவே விடை காணமுடியாது. ஆனால் எப்படி ஒரு பத்து வயதுப் பையன் விளையாட்டாக நூலகத்தில் படித்த ஒரு புத்தகம் அவனது வாழ்க்கையை முற்றிலும் வியாபித்து, அதற்கான விடையைக் கண்டுபிடிக்கும்வரை அவனைத் துரத்தியது என்பது நம் மாணவர்களுக்குப் பெருத்த நம்பிக்கையை ஊட்டும்.

சைமன் சிங்கின் புத்தகம் ‘பாபுலர் மேத்ஸ்’ என்ற வகையைச் சேர்ந்தது. கடினமான சமன்பாடுகள் ஏதும் இருக்காது. ஜாலியாக கதை படிப்பதுபோலப் படிக்கலாம். எல்லாமே நிஜ மனிதர்களைப் பற்றியது. ஆனால் அந்த உலகத்தில் ஆழும்போதே சோஃபி ஜெர்மைன், தானியாமா, ஆய்லர், கவுஸ், வைல்ஸ் போன்ற மேதைகளைச் சந்திக்கலாம். அவர்கள் துறையைப் பற்றியும் அறிந்துகொள்ளலாம். இதுபோன்ற சுவாரசியமான பல புத்தகங்கள் தமிழில் தேவை.

அவற்றைப் படிக்கும் பத்து வயதுத் தமிழ் மாணவனும் நாளை ஆண்ட்ரூ வைல்ஸைப் போல சாதனை படைப்பான்.

11 comments:

  1. // அவற்றைப் படிக்கும் பத்து வயதுத் தமிழ் மாணவனும் நாளை ஆண்ட்ரூ வைல்ஸைப் போல சாதனை படைப்பான். // மாணவி என்பதையும் சேர்த்துக் கொள்ளவும். நன்றி.

    ReplyDelete
  2. \\இதுபோன்ற சுவாரசியமான பல புத்தகங்கள் தமிழில் தேவை.\\

    Very true. I have read 'men of mathematics' by E T Bell. It took me few months to finish it.

    If someone demystifies the theorem or the puzzle you are referring to, I am sure they will receive THE nobel award.

    Likewise I heard one more puzzle. Sum of n prime numbers. I don't know if this still remains a puzzle or already been cracked.

    Thanks for the lovely post.

    ReplyDelete
  3. அறிமுகத்திற்கு நன்றி, பத்ரி. படித்து பார்க்கிறேன்.

    ReplyDelete
  4. நன்றி பத்ரி.நல்ல பகிர்வு.சைமன் சிங்கிற்கு போன மாதம் ஹைதரபாத்தில் நடந்த "International congress of Mathematics" இல் பத்து லட்சம் Leelavati Prize for Public Outreach in Maths கொடுக்கப்பட்டது. அதுவும் இந்த புத்தகத்திற்கு கிடைத்துள்ளது இங்கு குறிப்பிடத்தக்கது.

    ReplyDelete
  5. ரொம்ப நன்றி பத்ரி. மிக நல்ல அறிமுகம்...

    - சித்தார்த்.

    ReplyDelete
  6. ராமதுரை எழுதியது
    பெர்மாஸ் லாஸ்ட் தியரம் ப்ற்றி சில ஆண்டுகளுக்கு முன் ஒரு நூல் படித்தேன். நூலாசிரியர் பெயர் மறந்து விட்டது. அது ஒரு மர்ம நாவலைப் படிப்பது போல இருந்தது.இந்த மாதிரி சமாச்சாரங்களைப் பற்றி நீங்கள் எழுதுவதானது இளைஞர் ச்முதாயத்தினர் இடையே அறிவுப் பசியைத் தூண்டுவதற்கு பெருமளவு பங்களிக்கும் என்பதில் ஐயமில்லை. அறிவுப் பசியைத் தூண்டி விடுவது என்பது மெச்சத்தக்க ஒரு பணியாகும்.இது எதிர்காலத்தில் பல விஞ்ஞானிகளை உருவாக்குவதற்கு உதவும்.
    ராமதுரை

    ReplyDelete
  7. பத்ரி, தங்களின் அருமையான கட்டுரைக்கு நன்றி! இந்தக் கட்டுரையை புத்தகம் பேசுதுவில் படித்தேன். சென்ற வருடம் வெளியான ”எண்ணும் மனிதன்” (கயல்விழி, அகல் வெளியீடு) [The Man Who Counted, Malba Tahan-ன் மொழியாக்கம்] மற்றும் சமீபத்தில் வெளியான ”நம்பர் பூதம்” (இரா.நடராசன், பாரதி புத்தகாலயம்) [The Number Devil: A Mathematical Adventure, Hans Magnus-ன் மொழியாக்கம்] இரண்டு புத்தகங்களும் சுவாரசியமானவை.

    ReplyDelete
  8. சமீபத்தில் நான் Fantasia Mathematicia என்னும் தலைப்பில் கணக்கு சம்பந்தமான கதைகள் அடங்கிய சிறுகதைகள் தொகுப்பு ஒன்றை படித்தேன். அதை தொகுத்தது Clifton Fadiman.

    அதில் ஃபெர்மாவின் கடைசித் தேற்றம் பற்றி ஒரு கதை. The Devil and Simon Flagg by Arthur Forges.

    சாத்தானையே வரவழைத்து இந்தப் புதிரை தீர்க்கச் சொன்னாலும் அவனாலும் முடியாது என கதை முடியும். முடிவில் வரும் திருப்பம் எதிர்பாராதது.

    பார்க்க: http://books.google.co.in/books?id=UK8UJLpA3SgC&pg=PA65&lpg=PA65&dq=fermat's+last+theorem+fantasia+mathematica&source=bl&ots=2Jl4E4gX02&sig=QoT-vCSHOSVC_sicjXYU5lOOp7k&hl=en&ei=LbqhTI_4NM6HccPWgLcB&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3&ved=0CCUQ6AEwAg#v=onepage&q=fermat's%20last%20theorem%20fantasia%20mathematica&f=false

    அன்புடன்,
    டோண்டு ராகவன்

    ReplyDelete
  9. கூற விட்டுப்போனது: சமீபத்தில் 1968-ல்

    அன்புடன்,
    டோண்டு ராகவன்

    ReplyDelete
  10. (தமிழக) மாணவர்களுக்கு மதிப்பெண்களைத்தான் இலக்காக வைத்திருக்கிறார்கள். :-(

    ReplyDelete