Saturday, August 06, 2011

பெர்ன்ஹார்ட் ரீமான்

(அம்ருதா பத்திரிகையில் இந்த மாதம் வெளியாகியிருக்கவேண்டும். நான் இன்னும் இதழைப் பார்க்கவில்லை.)

செப்டெம்பர் 17, 1826 முதல் ஜூலை 20, 1866 வரை வெறும் 40 வருடங்களே வாழ்ந்து கணித உலகுக்கு மாபெரும் கொடையை அளித்தவர் பெர்ன்ஹர்ட் ரீமான். இவரது வாழ்க்கைக்கும் ஸ்ரீனிவாச ராமானுஜனின் வாழ்க்கைக்கும் பல ஒற்றுமைகள் உள்ளன. பல வித்தியாசங்களும் உள்ளன. இருவரும் மிகக் குறைவான ஆண்டுகளே வாழ்ந்தனர். இருவரது இளமைக் காலமும் ஏழைமையில்தான் கழிந்தது. இருவரும் மிக முக்கியமான ஒரு கணிதச் சிக்கல் தொடர்பாக (பகா எண்கள்) ஆராய்ச்சிகள் செய்தனர். இருவரும், வாழ்க்கையில் முன்னேற்றம் ஏற்பட்டு, கையில் பணம் கிடைக்கும் நேரத்தில், கடுமையான நோயில் ஆழ்ந்து, உயிரை விட்டனர்.

ஆனால் ஒற்றுமை அவ்வளவே.

ரீமான் செய்த புண்ணியம் அவர் ஜெர்மனியில் பிறந்தது. ராமானுஜன்போல, பிரிட்டிஷ் அட்சியில் அடிமையாகக் கிடந்த இந்தியாவில் அல்ல. ரீமானைச் சுற்றிலும் கணித விற்பன்னர்கள் பலர் இருந்தனர். முக்கியமாக கார்ல் பிரெடெரிக் கவுஸ் அப்போது உயிருடன் இருந்தார்.

ரீமான் பிறந்தது ஒரு லுத்தரன் சர்ச் பாதிரியார் வீட்டில். எண்ணற்ற குழந்தைகள். அதில் பல வரிசையாக இறந்தன. பெர்ன்ஹார்ட் ரீமானின் தாயும் விரைவில் இறந்தார். ரீமான் பள்ளிப் படிப்பை, தன் பாட்டி வீட்டிலிருந்தபடித்தான் செய்தார்.

ராமானுஜனின் கதையைப் படிக்கும்போது, கணித ஆராய்ச்சியில் அவரை ஆழவைத்தது எது என்று பார்த்தோம். அதே கதைதான் ரீமான் வாழ்க்கையிலும். பள்ளிக்கூடத்தில் படித்துக்கொண்டிருக்கும்போது, ரீமானின் கணிதத் திறமையைப் பார்த்த தலைமை ஆசிரியர், தன் சொந்த நூலகத்திலிருந்து ஒரு நல்ல புத்தகத்தை எடுத்துக்கொடுத்து ரீமானைப் படிக்கச் சொல்லியுள்ளார். அந்தப் புத்தகம் லெஜாந்த்ர எழுதிய ‘எண்களின் கோட்பாடு’ என்ற புத்தகம். வெறும் ஆறே நாள்களில் ரீமான் இந்தப் புத்தகத்தை மனப்பாடம் செய்துவிட்டார்!

இந்தப் புத்தகம் ரீமானின் வாழ்க்கையில் பெரும் மாற்றத்தை ஏற்படுத்தியது என்றால் அது மிகையல்ல. அந்தக் காலத்தில் கணித மேதைகள் அனைவரையும் ஆட்டி எடுத்த ஒரு சிக்கல் பகா எண்கள் பற்றியது. ஆங்கிலத்தில் இவற்றை பிரைம் நம்பர்ஸ் என்கிறோம். 1, 2, 3, 4, 5.... என்ற எண் வரிசையை எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். இவற்றில் சில எண்களை அவற்றின் அடிப்படை எண்களின் பெருக்குத் தொகையாகக் காண்பிக்கலாம்.

4 = 2 x 2
6 = 2 x 3
8 = 2 x 2 x 2
9 = 3 x 3

ஆனால், 2, 3, 5, 7, 11, 13 போன்ற எண்களை இப்படி மேற்கொண்டு பகுத்து, சிறு சிறு எண்களின் பெருக்குத் தொகையாகக் காட்ட முடியாது. இப்படி பகுக்க முடியாத எண்களை பகா எண்கள் (பிரைம் நம்பர்ஸ்) என்கிறோம். பகுக்கக்கூடிய எண்களை பகு எண்கள் (காம்போஸிட் நம்பர்ஸ்) என்கிறோம்.

இரண்டாயிரம் ஆண்டுகளுக்கு முன்னரேயே யூக்ளிட் என்ற கிரேக்க கணித விற்பன்னர், பகா எண்கள் முடிவின்றி நீளக்கூடிய ஒரு வரிசை என்பதை மிக அழகாக நிரூபித்திருந்தார். அதாவது எண் வரிசையில் நீங்கள் சென்றுகொண்டே இருந்தால், திடீரென பகா எண்கள் காணாமல் போய்விடா. அவ்வப்போது பகா எண்கள் வந்துகொண்டேதான் இருக்கும். முடிவற்று வந்துகொண்டே இருக்கும்.

ஆனால், ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணுக்குக் கீழ் எத்தனை பகா எண்கள் உள்ளன? 1-லிருந்து 10-க்குள் எத்தனை பகா எண்கள்? 2, 3, 5, 7 = 4 பகா எண்கள். 100-க்குள் எத்தனை பகா எண்கள்? 25.

எண்எத்தனை
பகா எண்கள்?
104
10025
1,000168
10,0001,229
100,0009,592
1,000,00078,498
10,000,000664,579
100,000,0005,761,455
1,000,000,00050,847,534

எந்த எண்ணைக் கொடுத்தாலும் அதைவிடக் குறைவாக எத்தனை பகா எண்கள் உள்ளன என்று ‘டக்’ என்று சொல்லிவிட முடியுமா? கவுஸ், லெஜாந்த்ர இருவருமே இந்தச் சிக்கலைப் பற்றி யோசித்தார்கள். இருவருமே இதற்கான தோராயமான விடையைத் தனித்தனியாகக் கண்டுபிடித்தார்கள்.

Pi(n) ~ n / ln (n)

பின்னர், கவுஸ் இதனை மேலும் செம்மையாக்கினார்.

லெஜாந்த்ரவின் புத்தகத்தால் ஈர்க்கப்பட்ட ரீமான் பின்னர் கல்லூரி சென்று பல புதிய விஷயங்களைக் கற்கத் தொடங்கினாலும் பகா எண்கள் அவரைப் பிடித்து இழுத்துக்கொண்டே இருந்தன. இன்னும் துல்லியமாக பகா எண்களின் எண்ணிக்கையைக் கணிக்க முடியுமா என்று சிந்திக்கத்தொடங்கியதன் விளைவாகவே அவர் கலப்பு எண்கள் (காம்ப்லெக்ஸ் நம்பர்ஸ்) என்ற துறைக்குள் மூழ்கினார். தன் 25 வயதில் 'Foundations for a general theory of functions of a complex variable' என்ற தலைப்பில் ஒரு முனைவர் பட்ட ஆய்வறிக்கையை ரீமான், கொட்டிங்கன் பல்கலைக்கழகத்திடம் சமர்ப்பித்தார்.

அங்கே அவரது முனைவர் பட்ட ஆராய்ச்சிக் கட்டுரையைப் படித்தது கவுஸ்! அந்தக் கட்டத்தில் கவுஸ் தனது முதுமையில் இருந்தார். அவரது வாழ்க்கையில் இன்னமும் நான்கு ஆண்டுகள் மட்டுமே பாக்கி இருந்தன. ரீமானின் ஆராய்ச்சிக் கட்டுரையைப் படித்ததும் கவுஸ் அடைந்த ஆனந்தத்துக்கு அளவே இல்லை. அவர் எழுதினார்: ‘ரீமானின் இந்த ஆராய்ச்சிக் கட்டுரை ஒட்டுமொத்தமாகப் பார்க்கும்போது ஆழமானது, மிக முக்கியமானது. அத்துடன் முனைவர் பட்ட ஆராய்ச்சிக்காக எந்த அளவுக்கு நாம் தரத்தை எதிர்பார்க்கிறோமோ, அதை இது தொட்டுள்ளது என்பது மட்டுமல்ல, அதைப் பெருமளவு தாண்டியும் சென்றுவிட்டது.’

இதைவிட ஒரு பாராட்டு ரீமானுக்குக் கிடைத்திருக்க வாய்ப்பே இல்லை.
ஆனால், அந்தக் காலத்தில் இதற்கெல்லாம் யார் வேலை கொடுக்கப் போகிறார்கள்? பல்கலைக்கழக வேலைகளே குறைவாக இருந்த காலம் அது. கவுஸ், அவருக்கு அடுத்த நிலையில் இருக்கும் யோஹான் டிரிச்லே இருவரும் பேராசிரியர்களாக இருந்தனர். இன்னொரு வேலை கிடையாது. ஆனால் சம்பளம் இல்லாத லெக்சரர் பதவி ஒன்று கிடைக்கலாம். பல்கலைக்கழகம் சம்பளம் கொடுக்காதே தவிர, மாணவர்கள் தாமாக ஏதேனும் தந்தால் வாங்கிக்கொள்ளலாம்!

சரி, அப்படியான வேலையைத் தூக்கிக் கொடுத்துவிடுவார்களா என்றால் அதுவும் கிடையாது. தன் திறமையை ரீமான் நிரூபிக்கவேண்டும். அதற்கு அவர் மாணவர்களும் பேராசிரியர்களும் நிரம்பியிருக்கும் அவையில் ஒரு விஷயத்தை எடுத்துக்கொண்டு லெக்சர் கொடுக்கவேண்டும். அதன் தகுதியின் அடிப்படையில்தான் இந்தச் சமபளம் இல்லாத வேலையே அவருக்குக் கிடைக்கும்.

ரீமானுக்கு அது ஒன்றும் அவ்வளவு பெரிய சிக்கல் இல்லை என்றுதானே நினைப்பீர்கள். சிக்கல் இல்லைதான். ரீமான் தனக்குப் பிடித்த மூன்று தலைப்புகளைக் கொடுக்கவேண்டும். அதில் ஒன்றை கவுஸ் தேர்ந்தெடுப்பார். குறிப்பிட்ட நாளில் ரீமான் அதைப்பற்றிப் பேசினால் போதும். ரீமான் இரண்டு தலைப்புகளைக் கொடுத்துவிட்டார். கொஞ்சம் யோசித்துவிட்டு, அப்போது அவர் வேலை செய்துகொண்டிருந்த ‘ஜியாமெட்ரிக்கு ஒரு புது அடிப்படை’ என்பதை மூன்றாவது தலைப்பாகக் கொடுத்துவிட்டார்.

பொதுவாக முதல் அல்லது இரண்டாவது தலைப்பையே கொடுப்பதுதான் வாடிக்கை. ஆனால் கவுஸ் ஜியாமெட்ரி பற்றி நிறையவே யோசித்துவைத்திருந்தார். அவரது வாழ்க்கையை வானியல் பிடுங்கிக்கொண்டிருக்காவிட்டால் கவுஸ் ஜியாமெட்ரியில் என்னென்னவோ செய்திருப்பார். ஏற்கெனவே ரீமான் செய்திருந்த முனைவர் பட்ட ஆராய்ச்சி கவுஸை வெகுவாகக் கவர்ந்திருந்தது. எனவே ஜியாமெட்ரி பற்றி இந்தப் பையன் என்ன சொல்லப்போகிறான் என்று பார்க்க கவுஸுக்கு ஆர்வம். எனவே மூன்றாவது தலைப்பைத் தேர்ந்தெடுப்பதாகச் சொல்லிவிட்டார்.

ரீமான் இது தொடர்பாக நிறைய ஆராய்ச்சிகள் செய்திருந்தாலும், அதில் மேலும் சில வேலைகள் பாக்கியிருந்தன. இப்போது கவுஸ் அதைத் தேர்ந்தெடுத்திருப்பதால் சொதப்பிவிடக்கூடாதே என்ற பயம் வேறு பிடித்துக்கொண்டது. தான் செய்துகொண்டிருந்த அனைத்தையும் விட்டுவிட்டு மாதக்கணக்காக ஜியாமெட்ரியில் மூழ்கினார் ரீமான். கவனியுங்கள்... இத்தனையும் எதற்கு? சம்பளமில்லாத ஒரு வேலைக்காக. யுஜிசி பே ஸ்கேல் மாதச் சம்பளம் வாங்க அல்ல!

ஆனால் அதன் விளைவாக உருவானதுதான் மிக அற்புதமான ஒரு துறை. ரீமானியன் ஜியாமெட்ரி என்ற பெயரிலேயே விளங்குவது. ஜியாமெட்ரியை யூக்ளிடின் இரும்புக்கரங்களிலிருந்து விடுவித்தது இந்த ஆராய்ச்சி.

கிரேக்கர்கள் பிளேன் ஜியாமெட்ரி எனப்படும் சமதள வரைகணிதத்தில் விற்பன்னர்களாக விளங்கினர். அவர்களது சிந்தனைகளையெல்லாம் தொகுத்துத்தான் யூக்ளிட் ஒரு புத்தகத்தை எழுதி அழியாப்புகழ் பெற்றிருந்தார். கிட்டத்தட்ட இரண்டாயிரம் ஆண்டுகளாக அந்தப் புத்தகம்தான் மேற்குலகில் கோலோச்சியது. இரு இணைகோடுகள் ஒன்றை ஒன்று வெட்டாது என்ற கருதுகோள் அதில் ஒன்று. இதுபோன்ற கருத்துகள் ஜெர்மன் தத்துவவியலிலும் வலுவாகப் புகுந்துகொண்டது. ஆனால், கவுஸின் கண்டுபிடிப்புகள் வேறுவிதமாகச் சொல்லின. சமதள ஜியாமெட்ரி மட்டும்தான் ஜியாமெட்ரி என்பதல்ல, பிற ஜியாமெட்ரிகளும் உள்ளன என்று அவர் சொன்னார். ஆனால் அத்தனை பெரிய ஆளுமையாக இருந்தாலும் தனது கண்டுபிடிப்புகளை வெளியே சொல்ல கவுஸ் பயப்பட்டார். காந்த் போன்ற தத்துவவியலாளர்களுக்கு விஷயம் தெரிந்துவிட்டால் அவர்கள் கவுஸைக் காலி பண்ணிவிடுவார்கள்!

கவுஸ் வெளியே சொல்லாமல் கோடு போட்டிருந்தார். ஆனால் ரீமான் முழுமையான ரோடே போட்டுவிட்டார். அதுவும் எத்தகைய சாலை? நெடுஞ்சாலை. இந்த நெடுஞ்சாலையில்தான் சில ஆண்டுகள் கழித்து ஐன்ஸ்டைன் ஒளியின் வேகத்தில் தன் வண்டியை ஓட்டிச் செல்லப்போகிறார்.

மனிதர்களால் நேர் கோடுகளைப் பார்த்துப் புரிந்துகொள்ள முடியும். வளைந்த கோடுகளையும் புரிந்துகொள்ள முடியும். ஆனால் சின்னஞ்சிறு எறும்புக்கு நேர் கோடு, வளைந்த கோடு என்ற வித்தியாசம் ஏதும் உள்ளதா என்ன? ஒரு பெரிய பரப்பில், ஓரிடத்திலிருந்து இன்னோர் இடத்துக்குச் செல்ல எறும்பு தன்னளவில் ஒரு பாதையைத் தேர்ந்தெடுக்கிறது. சொல்லப்போனால், அதற்கு, தான் சென்று சேரப்போகும் இடம் எது என்று அந்த இடத்துக்கு அருகில் செல்லும்வரை தெரியாது. எனவே, தான் இருக்கும் இடத்திலிருந்து வளைந்தோ நெளிந்தோ சென்றுகொண்டே இருக்கும்.

அதேபோலத்தான் வளைந்து நெளிந்த, மேடும் பள்ளமுமான இரு பரிமாணப் பரப்பு. இதையும் மனிதர்களால் புரிந்துகொள்ள முடியும். ஆனால் நாம் வசிக்கும் இந்த முப்பரிமாண உலகம்? இது எப்படிப்பட்டது? இது வளைந்து நெளிந்ததா அல்லது சீரானதா என்பதை இதில் வசிக்கும் நம்மால் புரிந்துகொள்ள முடியாது. ஒருசில அதீதப் பிரக்ருதிகளால் நான்கு பரிமாண உலகு என்பதில் வசிக்கமுடியும் என்று வைத்துக்கொண்டால், அவர்களால் நாம் வசிக்கும் முப்பரிமாண உலகைப் பார்க்க முடியும். நம் முப்பரிமாண உலகம் சீரானதா அல்லது வளைந்து நெளிந்துகிடப்பதா என்று அவர்களால் பார்க்கமுடியும். எப்படி நம்மால் எறும்புகளின் பாதையைக் கணக்கிட முடியுமோ, அப்படி.

அப்படிப்பட்ட ஒரு பல பரிமாண உலகை ரீமான், மேனிஃபோல்ட் என்று அழைத்தார். அது (ஒரு நேர்கோடு போல அல்லது ஒரு சமதளம் போல) சீராக உள்ளது என்று எடுத்துக்கொள்ளாமல், அது தன்னிஷ்டத்துக்கு (வளைந்த கோடு போல, அல்லது மேடும் பள்ளமும் நிறைந்திருக்கும் தளம்போல) இருக்கும் என்று வைத்துக்கொண்டார். அப்படிப்பட்ட பல பரிமாண மேனிஃபோல்டுகளின் இரு புள்ளிகளுக்கு இடையேயான தொலைவு என்ன, எந்த ஒரு புள்ளியை எடுத்துக்கொண்டாலும் அதன் அடிப்படை குணமான ‘வளைவு’ (கர்வேச்சர்) என்ன என்பது போன்ற விஷயங்களிலிருந்து ஆரம்பித்தார். ஒரு புதிய ஜியாமெட்ரி தயார்.

இந்த லெக்சரைக் கேட்ட கவுஸ் சந்தோஷம் அடைந்திருப்பார் என்பதில் வியப்பேதும் இல்லை.

ரீமானுக்கு சம்பளமில்லா லெக்சரர் வேலை கிடைத்தது. பின்னர் கொஞ்சமாக அவருக்கு உதவித்தொகையும் கிடைத்தது. கவுஸ் இறந்தபின், டிரிச்லேயும் இறந்தபின், அந்த வேலையும் முழுச்சம்பளத்துடன் ரீமானுக்குக் கிடைத்தது.

மற்றொரு பக்கம், ரீமானுக்குத் திருமணம் நடந்தது. அவரது தந்தை மறைந்தார். அவரது சகோதரிகள் அனைவரையும் காப்பாற்றும் பொறுப்பு ரீமானிடம் வந்தது. தங்கைகள் சிலர் மரணமடைந்தனர். மொத்தத்தில் நோயும் குடும்பத் தொல்லைகளும் ரீமானைக் கடைசிவரை வாட்டின. அவருக்கு ஒரு பெண் குழந்தை பிறந்தது. ஆனால் ரீமானின் உடல்நிலை வெகுவாக மோசம் அடைந்தது. ஜெர்மனியின் குளிர் ஒத்துக்கொள்ளவில்லை என்றால் குளிர் காலத்தில் இத்தாலி நாட்டில் போய் வசிக்கலாம் என்று நண்பர்கள் சொன்னார்கள். அப்படிச் செய்தும் அது பெரிய பலனைத் தரவில்லை. தன் 40-வது வயதில் இத்தாலியில் அவருடைய உயிர் பிரிந்தது.

***

பகா எண்களைப் பற்றி ஆராய்ந்துகொண்டிருந்தபோதுதான் ரீமான், ஸீட்டா ஃபங்க்ஷன் என்பதைப் பற்றி ஆராயத் தொடங்கினார்.இந்த ஸீட்டா ஃபங்க்ஷன் பற்றி ராமானுஜனுக்கு ஒன்றுமே தெரியாது. சொல்லப்போனால், ராமானுஜனுக்கு இந்தியாவில் இருந்தவரை கலப்பெண்கள் பற்றித் தெரிந்திருக்கக்கூட வாய்ப்பிருக்கவில்லை. ஆனாலும் ரீமான் சென்றிருந்த பாதையில் ராமானுஜனும் சென்றிருந்தார். ஆனால் அடிப்படைக் கருவிகளின் போதாமையால் சில தவறுகளைச் செய்திருந்தார். இருந்தும், ராமானுஜன் கொடுத்திருந்த ஒரு சமன்பாடு, குறிப்பிட்ட ஓர் எல்லை வரை, பகா எண்களின் கணிப்பை மிக நன்றாகச் செய்தது. ராமானுஜனின் ஒரு சமன்பாட்டைக் கொண்டு, பின்னர் இங்காம் என்பவர் 1930-ல் பகா எண் தேற்றத்தை (அதாவது பகா எண்களின் எண்ணிக்கை n / ln (n) என்ற மாதிரிச் செல்லும்) நிரூபித்தார். ரீமான் ஸீட்டா ஃபங்க்ஷனின் துணை கொண்டு ஹடமார்ட் என்பவரும் தி லா வாலீ பூஸான் என்பவரும் பகா எண் தேற்றத்தை முன்னதாக 1896-லேயே நிரூபித்திருந்தனர்.

***

ரீமானின் சாதனைகள் கணிதம் தாண்டி இயல்பியலிலும் உள்ளன. கணிதத்திலும் மேலே சொன்ன ஓரிரு எடுத்துக்காட்டுகளைத் தாண்டி பல துறைகளில் உள்ளன. விரித்துச் சொல்ல இந்த இடம் போதாது.

ஒரே ஒரு புத்தகம் ஒரு மாணவனை எங்கேயோ உயரத்துக்கு அழைத்துச் செல்லும் என்பதற்கு ரீமான் சிறந்த எடுத்துக்காட்டு. இதில் கணித ஆசிரியர்கள் கவனத்தைச் செலுத்தவேண்டும். உங்கள் நூலகத்தில் நல்ல கணிதப் புத்தகங்கள் இருக்கின்றனவா? உங்களது மிகச் சிறந்த மாணவரைத் தேர்ந்தெடுத்து அந்தப் புத்தகத்தை அவரிடம் கொடுங்கள். நாளையே ஒரு ரீமான் அல்லது ஒரு ராமானுஜன் உங்கள் கண் முன்னாலேயே உருவாகக்கூடும்.

12 comments:

  1. இது போன்ற உங்கள் கட்டுரைகளை தொகுத்து புத்தகமாகவும் வெளியிடுங்கள் பத்ரி

    ReplyDelete
  2. அருமை அருமை .....
    // இது போன்ற உங்கள் கட்டுரைகளை தொகுத்து புத்தகமாகவும் வெளியிடுங்கள் பத்ரி //
    சந்திரமௌளீஸ்வரன் அவர்களை ஆமோதிக்கிறேன்.
    உங்கள் கட்டுரைகளின் பல விஷயங்களை நான் மாணவர்களுடன் பகிர்ந்து கொள்கிறேன்.
    வழக்கமான சவ சவ விஷயங்களிலிருந்து மாறுபட்டு புத்துணர்ச்சி அளிக்க இவை உதவுகின்றன.
    நன்றிகள் பல.
    செல்வா.

    ReplyDelete
  3. ராமதுரை எழுதியது
    நான் அறிந்த வரையில் விண்வெளிப் பயணங்கள் விஷயத்தில் ரைமானியன் ஜியாமெட்ரி முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது.யூக்ளிட் ஜியாமெட்ரி வீடு கட்டுவதற்கு ரோடு போடுவதற்கு வேண்டுமானால் பயன்படலாம். நாம் வாழும் முப்பரிமாண உலகில் யூக்ளிட் ஜியாமெட்ரியின்படியான நேர்கோடு என்பதே கிடையாது.ரைமானியன் ஜியாமெட்ரியின்படி நேர்கோடு என்பதற்கான விளக்கமே வேறு
    ராமதுரை

    ReplyDelete
  4. அருமையாக எழுதி இருக்கிறீர்கள். சிறு குழந்தைகளுக்கும் மாணவர்களுக்கும் அவசியம் சொல்ல வேண்டிய விஷயங்கள் இவை.

    சிறு திருத்தம்: "அங்கே அவரது முனைவர் பட்ட ஆராய்ச்சிக் கட்டுரையைப் படித்தது கவுஸ்! அந்தக் கட்டத்தில் கவுஸ் தனது முதுமையில் இறந்தார்"

    மேற் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள வரியின் கடைசி வார்த்தையை "இருந்தார்" என்று மாற்ற வேண்டுமென்று நினைக்கிறேன்.

    ReplyDelete
  5. எனக்கு இன்றுவரை இந்த Complex No என்றால் புரியாது. (i+jX) ஆல் நான் படாத பாடு பட்டுகொண்டு வருகிறேன். ஆனால் அவர்கள் அந்நாளில் இதை பற்றீயெலாம்.... எனக்கு வார்த்தையே வரவில்லை.

    ReplyDelete
  6. நன்றி அனானி. திருத்திவிட்டேன்.

    ReplyDelete
  7. Thanks for the wonderful post.

    ReplyDelete
  8. "கலப்பெண்கள்" is this the correct ? is it not "கலப்பு எண்கள் " ?

    ReplyDelete
  9. "வந்தார்கள் வென்றார்கள்" என்ற தலைப்பில் மதன் அவர்கள் இந்திய மொகலாய ஆட்சியாளர்களை விவரித்தபோது,சரித்திரம் இனித்தது.இன்று உங்களால் கணிதம் இனிக்கிறது.மிக்க நன்றி

    ReplyDelete
  10. கலப்பு + எண்கள் = கலப்பெண்கள் (தமிழ் புணர்ச்சி விதிகளின்படி)

    ReplyDelete
  11. //"வந்தார்கள் வென்றார்கள்" என்ற தலைப்பில் மதன் அவர்கள் இந்திய மொகலாய ஆட்சியாளர்களை விவரித்தபோது,சரித்திரம் இனித்தது.இன்று உங்களால் கணிதம் இனிக்கிறது.மிக்க நன்றி//

    வழிமொழிகிறேன்

    --

    பத்ரி

    இந்த கட்டுரையில் இருந்து சில வரிகளை விக்சனரியில் http://ta.wiktionary.org/wiki/prime_number மற்றும் http://ta.wiktionary.org/wiki/composite_number தொடர்பான பக்கங்களில் “அப்படியே வெட்டி ஒட்டி” உள்ளேன்.

    ஒரு முறை பார்த்து, சரியாக உள்ளதா, அல்லது எதையாவது திருத்த வேண்டுமா என்று கூற வேண்டுகிறேன்

    ReplyDelete
  12. பிரமிப்பாக இருக்கிறது. ராமானுஜம் பற்றிய சுவையான தகவல்களை மேலும் எழுதுங்கள். தமிழகத்தில் ஆய்வு நோக்குடன் கணிதம் படிக்கும் ஆர்வமுள்ள மாணவர்கள் இருக்கிறார்கள் என்று நீங்கள் கருதுகிறீர்களா? கணிதம் பொறியியல் கல்விக்கான ஒரு சாதனமாகவே கருதப்படுகிறதோ என்று தோன்றுகிறது. கல்வி என்பதே பொறியியல் மற்றும் பணம் ஈட்டும் தொழிற்கல்வி மட்டும்தான் என்று ஆகிவிட்டது வேறு விஷயம்.

    ReplyDelete