Wednesday, September 07, 2011

இறுதிமூச்சு வரை கணக்கு: லியோனார்ட் ஆய்லர் (1707-1783)

[அம்ருதா செப்டெம்பர் இதழில் வெளியான என் கட்டுரை.]

கணித மேதைகளைப் பற்றிப் படிக்கும்போதும் அவர்கள் செய்துள்ள கணித ஆராய்ச்சிகளைப் பற்றி யோசித்துக்கொண்டிருக்கும்போதும் அவர்கள் நிஜ உருவத்தில் எப்படி இருந்திருப்பார்கள் என்று கற்பனை செய்து பார்ப்பேன். அப்படி யோசித்ததில், பாசமான ஒரு தாத்தாவாக, அன்புடன் நம்மை அழைத்து, அருகில் அமரவைத்து, நமக்குக் கதை சொல்பவராகவே ஆய்லரின் முகம் எனக்குத் தோன்றும்.

ஆய்லர் 76 ஆண்டுகள் வாழ்ந்தார். முதல் மனைவி இறக்கும்போது ஆய்லருக்கு வயது 63. அவர்களுக்கு மொத்தமாக 13 குழந்தைகள் பிறந்தன. அவற்றில் 8 குழந்தைகள் இளமைப் பருவத்திலேயே இறந்துபோய்விட்டன. ஆய்லரைச் சுற்றி எப்போதுமே குழந்தைகள் இருந்தனர். அவர் தன் மடியில் ஒரு குழந்தையை வைத்துக்கொண்டு, தூளியில் ஒரு குழந்தையை ஆட்டியபடியே கணக்கு போடுவாராம். அவருக்கு 31 வயது ஆகும்போது ஒரு கண்ணில் பார்வை போய்விட்டது. பின்னர் 61 வயதில் இரண்டாவது கண்ணிலும் பார்வை போய்விட்டது. இரு கண்களிலும் பார்வை தெரியாமல் அவர் 15 ஆண்டுகள் உயிர் வாழ்ந்தார். அப்போதும், தன் பிள்ளைகளின் உதவியுடன் கணக்கு போட்டபடியே இருந்தார்.

அவர் ரஷ்யாவில் வாழ்ந்த பெரும் பகுதி நாட்டில் கலவரம் நடந்தபடியேதான் இருந்தது. அப்போதும் ஆராய்ச்சி நிலையத்தில் இருந்தபடி, கணக்கு போட்டபடியே தானுண்டு, தன் வாழ்க்கை உண்டு என்று வாழ்ந்தார். பின்னர் ஜெர்மனியில் அரசனின் அவையில் இருந்தபோதும், அரசன் தன்னைத் தொடர்ந்து கேலி செய்தபடி இருந்தபோதும், அவையில் இருக்கும் பிறர் தன்னைக் கேலி செய்தபோதும் அதனால் எல்லாம் அவமானப்படுவதற்குபதில் தன் கணக்கிலேயே தன் முழு கவனத்தையும் செலுத்தினார்.

தன் கடைசி மூச்சுவரை கணக்கு ஒன்றுதான் அவருக்குப் பிரதானமாக இருந்தது.

லியோனார்ட் ஆய்லரின் தந்தை பால் ஆய்லர் சர்ச் ஒன்றில் பாதிரியார். சுவிட்சர்லாந்தில் பேசில் என்ற இடத்தில் வசித்துவந்தார். 16-ம் நூற்றாண்டில் ஐரோப்பாவை உலுக்கும் வகையில் கிறிஸ்தவத்தில் ஒரு மாபெரும் பிரிவு ஏற்பட்டது. சீர்திருத்தத்தைப் பேசியவர்கள் புராட்டெஸ்டண்ட் கிறிஸ்தவர்கள். உள்ளது உள்ளபடியே என்ற நிலையைப் பின்பற்றி, ரோம் நகரில் இருக்கும் போப்பின் பின் அணிவகுத்தவர்கள் கத்தோலிக்கர்கள். ஆய்லர் குடும்பத்தினர், கால்வினிசம் என்ற ஒரு குறிப்பிட்ட புராட்டஸ்டெண்ட் பிரிவைச் சேர்ந்தவர்கள். கால்வினிஸ்டுகள் தனி வாழ்க்கையில் கடுமையாக உழைக்கவேண்டும் என்ற கொள்கையைக் கொண்டவர்கள். அதனால், சிறு வயது முதலே கடுமையான உழைப்பு என்பது லியோனார்ட் ஆய்லரின் ரத்தத்திலேயே ஊறியிருந்தது.

அந்தக் காலகட்டம் - 18-ம் நூற்றாண்டில் தொடக்கம் - கணிதத்தைப் பொருத்தமட்டில் மிக மிகச் சுவாரசியமான ஒரு கட்டம். அதற்கு முந்தைய நூற்றாண்டில்தான் ஐரோப்பாவில் கணிதம் தொடர்பான பல மாபெரும் முன்னேற்றங்கள் நிகழ்ந்திருந்தன. அதில் முக்கியமானது கால்குலஸ் என்ற நுண்கணிதம்.

17-ம் நூற்றாண்டின் இணையற்ற அறிவியல் மாமேதை, இங்கிலாந்தைச் சேர்ந்த ஐஸக் நியூட்டன். மிக முக்கியமான தத்துவவியலாளர், ஜெர்மானியரான காட்ஃப்ரெட் லீபினிட்ஸ். இருவரும் தனித்தனியாக கால்குலஸ் என்ற கணிதமுறையைக் கண்டுபிடித்திருந்தனர். நியூட்டன்தான் இதனை முதலில் கண்டுபிடித்தார்; ஆனால் லீபினிட்ஸ் நியூட்டனைக் காப்பியடிக்காமல் தானாகவே இதனை உருவாக்கினார் என்றே இன்று அனைவரும் ஏற்றுக்கொள்கிறார்கள். அது மட்டுமல்ல. நியூட்டன் தான் உருவாக்கியதை விளக்கமாக யாருக்கும் சொல்லித் தரவில்லை. அவரது குறியீட்டு முறைகளும் அவ்வளவு சிறப்பானதாக இல்லை. மாறாக லீபினிட்ஸோ சந்தோஷமாக அனைவருக்கும் தன் கண்டுபிடிப்பைச் சொல்லிக்கொடுத்தார். அப்படி அவரிடம் கால்குலஸைச் கற்றுக்கொண்ட ஒருவர் சுவிட்சர்லாந்து நாட்டைச் சேர்ந்த யாக்கோப் பெர்னோலி.

இந்த பெர்னோலியையும் இவரது குடும்பத்தையும் நாம் பின்னர் இந்தத் தொடரில் பார்க்கப்போகிறோம். இந்தக் குடும்பமும் ஆய்லரின் குடும்பமும் நெருங்கிப் பழகின.

லியோனார்ட் ஆய்லர் பிறப்பதற்கு இரு வருடங்கள் முன்னரேயே யாக்கோப் பெர்னோலி இறந்துவிட்டார். நல்லவேளையாக யாக்கோப் பெர்னோலி தன் தம்பி யோஹானஸ் பெர்னோலிக்கு கால்குலஸ் நுணுக்கங்களைக் கற்றுக்கொடுத்திருந்தார். பள்ளிக்கூடம் செல்லும் வயதானதும் ஆய்லருக்கு யோஹானஸ் பெர்னோலி ஒவ்வொரு வாரமும் ஸ்பெஷல் கணித வகுப்புகளை நடத்தத் தொடங்கினார். இப்படியாக ஆய்லருக்கு, அவரது சிறு வயது முதற்கொண்டே, அப்போதுதான் கண்டுபிடிக்கப்பட்டிருந்த ஒரு முக்கியமான கணிதத் துறையை, அது தெரிந்த வெகு சிலரில் ஒருவரிடமிருந்து  நேரடியாகக் கற்றுக்கொள்ளும் வாய்ப்பு கிடைத்தது. ஆய்லரின் பிற்காலச் சாதனைகள் அனைத்துக்கும் இந்த கால்குலஸ் மிக முக்கியமானதாக இருந்தது.

பால் ஆய்லர் தன் மகனைப் பாதிரியார் ஆக்க விரும்பினார். தந்தை சொல் மிக்க மந்திரமில்லை என்று லியோனார்ட் ஆய்லரும் பல்கலைக்கழகம் சென்று தியாலஜி படித்தார். 17 வயதில் பட்டம் பெற்றார். ஆனால் இந்தப் பையன் கணிதத்தில்தான் முன்னுக்கு வருவான் என்று யோஹானஸ் பெர்னோலி பால் ஆய்லரிடம் எடுத்துச் சொன்னார். அதனை பால் ஆய்லரும் ஏற்றுக்கொண்டார்.

யோஹானஸ் பெர்னோலியின் மகன்களான  டேனியல் பெர்னோலி, நிகோலாய் பெர்னோலி இருவரும் லியோனார்ட் ஆய்லரைவிட வயதில் பெரியவர்கள். இந்த மூவருக்கும் இடையே நெருங்கிய நட்பு இருந்தது. டேனியலும் நிகோலாயும் அப்போது ரஷ்யாவில் செயிண்ட் பீட்டர்ஸ்பர்கில் இருந்த இம்பீரியல் ரஷ்யன் அறிவியல் கழகத்தில் வேலை பார்த்துவந்தனர். டேனியல் பெர்னோலி மருத்துவத்துறையில் ஆராய்ச்சி செய்துவந்தார். நிகோலாய் பெர்னோலி கணிதத் துறையில் இருந்தார். மருத்துவத் துறையில் வேலை ஒன்று காலியாக இருக்கிறது என்று டேனியல் ஆய்லரிடம் சொன்னார். உடனே 17 வயதான ஆய்லர் மருத்துவம் படிக்க ஆரம்பித்துவிட்டார்! அடுத்த இரண்டாண்டுகளில் அவர் மருத்துவத்தில் பட்டம் பெற்றார்.

அதே நேரத்தில்தான் நிகோலாய் பெர்னோலி இறந்துபோனார். அதனால் அவர் வகித்துவந்த கணிதப் பதவி டேனியலுக்குக் கிடைத்தது. தான் வகித்துவந்த மருத்துவ ஆராய்ச்சிப் பதவியை லியோனார்ட் ஆய்லருக்குத் தருமாறு அவர் பரிந்துரைத்தார். ஆய்லருக்கு இப்படியாக 1727-ல் செயிண்ட் பீட்டர்ஸ்பர்கில் வேலை கிடைத்தது. ஆய்லர், செயிண்ட் பீட்டர்ஸ்பர்குக்குப் போய்ச் சேர்ந்த நாள் அன்றுதான் ரஷ்ய மகாராணி முதலாம் கேதரைன் இறந்துபோயிருந்தார். நாட்டில் அன்றுமுதல் குழப்பம் ஏற்பட்டது. 12 வயதே நிரம்பிய இரண்டாம் பீட்டர் என்பவரை ஜார் மன்னராக முன்னிறுத்தி பிரபுக்கள் அடிதடியில் ஈடுபட்டிருந்தனர்.

இது ஒருவிதத்தில் ஆய்லருக்கு வசதியாகிப்போனது. மருத்துவத் துறையில் வேலைக்கு வந்திருந்த ஆய்லர், நடக்கும் குழப்பத்தைத் தனக்குச் சாதகமாக்கிக்கொண்டு நண்பரான டேனியல் இருந்த கணிதத் துறையில் அவருக்கு உதவியாளராகப் போய் உட்கார்ந்துகொண்டார். இரண்டாம் பீட்டர் அடுத்த மூன்றே ஆண்டுகளில் இறந்துபோனார். அதற்குள் ஆய்லர் இயல்பியல் பேராசிரியர் என்ற அந்தஸ்துக்கு உயர்ந்திருந்தார். 1733-ல் டேனியல் பெர்னோலி சுவிட்சர்லாந்து திரும்பிவிட, ஆய்லர் கணிதத் துறைத் தலைவராக நியமிக்கப்பட்டார். அப்போது ஆய்லருக்கு வயது 26தான்!

இனி ரஷ்யாதான் தன் வாழ்க்கை என்று முடிவெடுத்த ஆய்லர், ஒரு கல்யாணத்தைச் செய்துகொண்டு நிம்மதியாக அங்கேயே செட்டில் ஆகிவிட்டார். அடுத்தடுத்து 13 குழந்தைகள் பிறந்தன. மற்றொரு பக்கம் தனக்கே உரிய கடுமையான உழைப்பில் நாளுக்கு நாள் புதிது புதிதாகக் கண்டுபிடிப்புகள் செய்வதில் ஆய்லர் செலவிட்டார். தினசரி பாடம் சொல்லிக்கொடுக்கவேண்டிய வேலைகள் குறைவு. அரசவைக்கு யாராவது பெரிய மனிதர்கள் வந்தால் விருந்து இருக்கும். அதற்கு ஆய்லர் போன்றவர்கள் அழைக்கப்படுவார்கள். அவ்வளவுதான்.

அறிவியல் கழகத்திலேயே பதிப்பக வசதியும் இருந்தது. ஆய்லர் ஆராய்ச்சித் தாள்களை எழுதி அவரது மேசைமீது வைக்கவேண்டியதுதான். காலாண்டுக்கு ஒருமுறை அலுவலர் ஒருவர் வந்து அவற்றை எடுத்துக்கொண்டுபோய் அச்சுக்கோர்த்து புத்தகமாக ஆக்கிக் கொடுத்துவிடுவார்.

ஆய்லரின் ஆராய்ச்சிகள் அனைத்தையும் தொகுத்தால் சுமார் 80 தொகுதிகள் வருகின்றன. கணிதத்தில் ஆய்லர் அளவுக்கு எழுதிக் குவித்தவர்கள் யாருமே இல்லை.

இந்த ஆராய்ச்சிகள் அனைத்துக்கும் அடிப்படையில் கால்குலஸ் இருந்தது. கால்குலஸ் என்ற பரந்த மேய்ச்சல் நிலத்தில் கண்ணுக்குப் பட்டதெல்லாம் ஆய்லரின் உணவாயின. டிஃபரன்ஷியல் கால்குலஸ், இண்டெக்ரல் கால்குலஸ், கால்குலஸ் ஆஃப் வேரியேஷன்ஸ் என்று இன்று 11-ம் வகுப்பு தொடங்கி நடத்தப்படும் பாடங்கள் எல்லாவற்றுக்கும் அடிப்படை ஆய்லர் உருவாக்கியதுதான். இத்துறைகளில் மாணவர்களுக்கான முதல் பாடப் புத்தகங்களை எழுதியவரும் லியோனார்ட் ஆய்லர்தான்.

1741-ல் புருஷ்யாவின் மன்னர் பிரெடெரிக் விரும்பி அழைத்ததன்பேரில் ஆய்லர் பெர்லினுக்குக் குடிபெயர்ந்தார். அங்கு இருந்தபோதுதான் ஆய்லர் இந்தப் புத்தகங்களை எழுதினார். ஆய்லர் பிரெடெரிக்கின் அரசவையில் இருந்த நேரத்தில்தான் பிரெஞ்சு எழுத்தாளரும் தத்துவவாதியுமான வோல்ட்டேர் அங்கு இருந்தார். ஆய்லருக்கு அப்போது ஒரு கண் மட்டும்தான் தெரியும். இதனால் மன்னர் பிரெடெரிக், ஆய்லரை சைக்ளாப்ஸ் என்று அழைத்து கேலி செய்வாராம். சைக்ளாப்ஸ் என்பது கிரேக்க புராணத்தில் வரும், நடு நெற்றியில் ஒரேயொரு கண் மட்டுமே இருக்கும் ஓர் ஆசாமி. எப்படித்தான் ஆய்லர் இதுபோன்ற கேலிகளைச் சகித்துக்கொண்டிருந்தாரோ!

ஒருமுறை மன்னர் பிரெடெரிக் ஆய்லரிடம் நீர் ஊற்று ஒன்றை உருவாக்கச் சொல்லியிருந்தார். ஆய்லர் தன் கணித, இயல்பியல் அறிவைத் துணையாகக் கொண்டு இத்தனை உயரத்துக்கு நீர் ஊற்றிலிருந்து எழும்பவேண்டும் என்றால், நீரை இந்த உயரத்துக்குச் சேமித்துவைக்கவேண்டும் என்றெல்லாம் கணக்கு போட்டு, அதேமாதிரி கட்டியும் கொடுத்தார். ஆனால் ஆய்லர் உராய்வைப் பற்றி சிந்திக்கவேயில்லை. இதனால் அவர் எதிர்பார்த்த உயரத்துக்கு நீர் எழும்பவில்லை. இதை வைத்துக்கொண்டு பிரெடெரிக் ஆய்லரைக் கடுமையாகக் கிண்டல் செய்துள்ளார்.

அதே நேரம் ரஷ்யாவில் ‘மாபெரும்’ கேதரைன் ஆட்சிக்கு வந்தவுடன் அவர் ஆய்லரை விரும்பி அழைக்க, உடனேயே ஆய்லர் 1766-ல் செயிண்ட் பீட்டர்ஸ்பர்குக்கு மீண்டும் சென்றுவிட்டார். ராஜ வாழ்க்கை மீண்டும் தொடங்கியது. ராணி, தனது சமையல்காரர்களில் ஒருவரையே அவர் வீட்டுக்கு அனுப்பிவிட்டார். கை நிறையச் சம்பளம். ஆனால் இந்த நேரத்தில்தான் ஆய்லரின் இரண்டாவது கண்ணிலும் பார்வை போனது. அதனால் எல்லாம் ஆய்லர் மனம் தளரவில்லை. அவரது ஆய்விலும் எந்தக் குறையும் இல்லை.

ராமானுஜனின் கணிதம்போல ஆய்லரின் கணிதத்தை விளக்குவது கடினம் அல்ல. இன்று நீங்கள் கணிதப் புத்தகத்தில் காணும் பெரும்பாலானவற்றை ஆய்லர்தான் முதலில் செய்தவர். கற்பனை எண்களுக்கு டி என்ற குறியீட்டைக் கொடுத்தவர் ஆய்லர்தான். வட்டத்தின் பரப்பளவையும் சுற்றளவையும் கண்டுபிடிப்பதில் தொடங்கி இன்று கணிதம் முழுதும் நீக்கமற நிறைந்திருக்கும் ‘பை’ என்பதற்கு π என்ற கிரேக்கக் குறியீட்டைப் பிரபலப்படுத்தியவரும் இவரே. கணிதத்தில் லாகரிதம் என்ற மிக முக்கியமான ஒரு விஷயத்தில் வரும் ஞு என்ற குறியீட்டைக் கொடுத்தவரும் இவரே. கணிதத்தில் மிக அழகான சமன்பாடான eiπ + 1 = 0 என்பதைத் தருவித்தவரும் ஆய்லரே. கால்குலஸ் தவிர, முக்கோணவியல், நம்பர் தியரி, முடிவிலாத் தொடர்கள் என எந்தப் பக்கம் திரும்பினாலும் ஆய்லர் கண்ணுக்குத் தென்படுகிறார். இதுதவிர நியூட்டன் ஆரம்பித்துவைத்த மெக்கானிக்ஸ் துறையை கால்குலஸின் அடிப்படையில் மாற்றியமைக்க மிக முக்கியமான காரணமாக இருந்தவர் ஆய்லர்.

பிரெஞ்சு அகாடெமி ஒவ்வோர் ஆண்டும் ஒரு கடினமான கணக்கைக் கொடுத்து அதைத் தீர்ப்பவருக்குப் பெரும் பரிசு அறிவிப்பார்கள். அந்தப் பரிசை ஆய்லர் 12 ஆண்டுகள் வென்றிருக்கிறார்! பூமி சூரியனைச் சுற்றுகிறது; சந்திரன் பூமியைச் சுற்றுகிறது. அப்படியானால் சூரியனிலிருந்து பார்த்தால் சந்திரனது சுற்றுப்பாதை எப்படிச் செல்லும் என்பது நியூட்டனையே அலைக்கழித்த ஒரு கணக்கு. அதனை அசாதாரணமாகச் செய்துமுடித்தவர் ஆய்லர்.

இப்படி வைத்துக்கொள்வோம். இன்று உலகில் பள்ளிக்குப் போகும் எந்தப் பிள்ளையும் ஆய்லர் செய்தவற்றில் ஒரு சிலவற்றையாவது கற்காமல் பள்ளியிலிருந்து வெளியே வரமுடியாது. பல நேரங்களில் அதனைச் செய்தது ஆய்லர்தான் என்றே அவர்களுக்குத் தெரியாது. அந்த அளவுக்கு நம் கல்வித் திட்டத்தில் ஆய்லர் நீக்கமற நிறைந்துள்ளார்.

கண் தெரியாமலேயே ஆய்லர் எப்படி 15 ஆண்டுகள் கணக்கு போட்டார் என்று ஆச்சரியமாக இருக்கிறதா? ஆய்லருக்கு ஞாபக சக்தி மிக மிக அதிகம். தனக்குக் கண் பார்வை போய்விடப்போகிறது என்பதைத் தெரிந்தகொண்டவுடனேயே தனக்கு வேண்டிய அனைத்துக் கணிதச் சமன்பாடுகளையும் வழிமுறைகளையும் முற்றிலுமாக மனப்பாடம் செய்துவிட்டார் ஆய்லர். அதன்பின் தனக்குத் தேவையான அனைத்தையும் மனத்திலேயே போட்டுவிடுவார் அவர். முடிவு தெரிந்ததும் தன் மகனை அழைத்து அவர் சொல்லச் சொல்ல அவன் தாளில் எழுதுவைக்கவேண்டியதுதான்!

ஆய்லர் தன் இறுதி நாள் வரை கணக்கு போட்டுக்கொண்டிருந்தார். 18 செப்டெம்பர் 1783 அன்று மாலை உணவை முடித்தார். அந்தச் சமயத்தில்தான் யுரேனஸ் கிரகம் கண்டுபிடிக்கப்பட்டிருந்தது. அதன் சுற்றுப் பாதையைக் கணக்கிடுவது எப்படி என்று வழிமுறையை அங்கு வந்திருந்த தன் நண்பரிடம் ஆய்லர் விளக்கினார். பின் தன் பேரக் குழந்தையுடன் கொஞ்சம் விளையாடினார். தேநீர் குடித்தார். உயிர் விட்டார்.

பிரெஞ்சு அகாடெமிக்காக ஆய்லரின் இறப்பை இரங்கலாக எழுதிய மார்க்கி த கண்டார்செத் இவ்வாறு எழுதினார்: ‘ஆய்லர் கணக்கு போடுவதை நிறுத்தினார். தன் மூச்சையும் நிறுத்தினார்.’

5 comments:

  1. பத்ரி, ஆதாரப் பத்தகம் அல்லது புத்தகங்கள் குறிப்பிடவில்லையே? விக்கிபீடியா (மட்டும்) ஆக இருக்காது என்று நம்புகிறேன்.

    ReplyDelete
  2. அருமையான கட்டுரை. 13 பிள்ளைகளை ஆய்லருக்குப் பெற்றுக்கொடுத்த பெண்மணி அவரைப் பற்றி என்ன அபிப்பிராயம் வைத்திருந்தார், என்ன சொன்னார், என்னவாவது எழுதி வைத்திருக்கிறாரா என்கிற தகவலுக்காகத் தேடுகிறேன்.

    ReplyDelete
  3. ஆதாரம்: ET Bell, Marcus du Sautoy, Simon Singh புத்தகங்கள் + பல்வேறு துண்டு துணுக்கு புத்தகங்களாக நான் சேர்த்து வைத்திருப்பவை. அவற்றில் நிறைய University Press வெளியிட்டவை: பை-யின் வரலாறு, ‘e’ வரலாறு, ஆய்லர் எண் காமா பற்றி... இப்படி.

    ReplyDelete
  4. ராகவன்: அந்தப் பெண்மணி எதையும் எழுதி வைத்திருக்கச் சாத்தியம் அப்போது இருந்திருக்காது. பொதுவாக ஆய்லர் வரிசையாகப் பிள்ளைகளைப் பெற்றுக்கொள்வதைத் தவிர மனைவியை அதிகமாக சிரமப்படுத்தியிருந்திருக்க மாட்டார். வீட்டில் வேண்டிய அளவு வேலைக்காரர்கள், சமையல்காரர் எல்லாம் இருந்தனர். இரண்டாவது முறை ரஷ்ய வாசத்தின்போது அரசியே தன் சமையல்காரர்களில் ஒருவரை அவர்களிடம் பணியாற்ற அனுப்பியிருந்தார். பிற கணித மேதைகள் வாழ்வில் இருந்ததுபோல ஏழைமை இவர்களிடம் என்றுமே இருக்கவில்லை. கணவர் குடித்துவிட்டுத் தொந்தரவு செய்பவராகவும் இல்லை. கண் போன்பதே தவிர பொதுவாக நல்ல உடல்நிலையில்தான் அவர்கள் இருந்திருக்கின்றனர். பிள்ளைகளைப் பார்த்துக்கொள்வதிலும் ஆய்லர் உதவியிருந்திருக்கிறார். தேடிப் பார்க்கிறேன் மனைவி ஏதேனும் சொல்லதாக அல்லது எழுதிவைத்ததாக ரெஃபரென்ஸ் இருக்கிறதா என்று.

    ReplyDelete
  5. நல்ல பல தகவல்களை இன்று தெரிந்து கொண்டேன்.. ஆய்லர் வாழ்க.. இந்தப் பதிவை அளித்த நீர் வாழ்க..

    ReplyDelete